1 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
2 抛物线的图形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：
③通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段： 。
⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
3 抛物线标准方程的四种形式：
4 抛物线 的图像和性质：
①焦点坐标是： ，
②准线方程是： 。
③焦半径公式：若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是： ，
④焦点弦长公式：过焦点弦长
⑤抛物线 上的动点可设为P 或 或P
5 一般情况归纳：
方程 图象 焦点 准线 定义特征
y2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离
k<0时开口向左
x2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离
k<0时开口向下
抛物线的定义：
例1：点M与点F (－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程．
分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义．
答案：y2=－16x
例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．
分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．
解：如图8－3－1，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1．
由 消去y得x2－6x+1=0．
设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6．
又A、B两点到准线的距离为 ， ，则
点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；
(3) 已知抛物线方程为y=－mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程；
(4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程；
分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p>0)．特别是(3)题，要先化为标准形式： ，则 ．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．
答案：(1) ， ．(2) x2=12y (3) ， ；(4) y2=－x或x2=－8y．
例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上
分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论
解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0），
∵过点（－3，2），
∴4=－2p（－3）或9=2p?2
∴p= 或p=
∴所求的抛物线方程为y2=－ x或x2= y，前者的准线方程是x= ，后者的准线方程是y=－
（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）
当焦点为（4，0）时， =4，
∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；
焦点为（0，－2）时， =2，
∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，
对应的准线方程分别是x=－4，y=2
常用结论
① 过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
② 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2
③ 设A， B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)
例5：过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=－4p2．
分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于－1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y1、y2的值．
证：由OA⊥OB，得 ，即y1y2=－x1x2，又 ， ，所以： ，即 ． 而y1y2≠0．所以y1y2=－4p2．
弦的问题
例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA?OB(O为坐标原点) 求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；
(2)直线AB经过一个定点
(3)作OM?AB于M，求点M的轨迹方程
解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵OA?OB, ∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)
(2)直线AB的斜率k= = = ,
∴直线AB的方程为y─y1= (x─ ),
即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y= (x─2p),
直线AB过定点C(2p,0)
(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y= (x─2p) (i),
又AB?OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即 ? = ─1 (ii)
由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x?0)
解法2: 由OM?AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出
例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,
又设点A，B，M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,
∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ )? (|AB|─ )=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )
由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,
∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =
∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )
例3 设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线 相交于B、C两点,点B、C在 轴上的射影分别为 , P是线段BC上的点,且适合 ,求 的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形
解析: 设 ,
,
由 得
①
又 代入①式得 ②
由 得 代入②式得:
由 得 或 , 又由①式知 关于 是减函数且
, 且
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):
( 且 )
例4 已知抛物线 ,焦点为F,一直线 与抛物线交于A、B两点,且 ,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)
①求抛物线方程; ②求 面积的最大值
解: ①设 , AB中点
由 得
又 得
所以 依题意 ,
抛物线方程为
②由 及 ,
令 得
又由 和 得:
例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,
又设点A，B，M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,
∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ )? (|AB|─ )=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )
由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,
∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =
∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )
综合类(几何)
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？
解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程 联立，解出
直线OP的方程为 即
令 ，得M点纵坐标 得证．
由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．
思路二：利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 ”来证．
设 、 、 ，并从 及 中消去x，得到 ，则有结论 ，即 ．
又直线OP的方程为 ， ，得 ．
因为 在抛物线上，所以 ．
从而 ．
这一证法运算较小．
思路三：直线MQ的方程为 的充要条件是 ．
将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立，它的解（x ,y）就是点P的坐标，消去 的充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．
说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．
例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．
分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可．
解：设AB所在的直线方程为 ．
将其代入抛物线方程 ，消去x得
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值．
设直线l方程为 ．代入抛物线方程得
由 得 ，这时 ．它到AB的距离为
∴△RAB的最大面积为 ．
例3 直线 过点 ，与抛物线 交于 、 两点，P是线段 的中点，直线 过P和抛物线的焦点F，设直线 的斜率为k．
（1）将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ；
（2）求出 的定义域及单调区间．
分析： 过点P及F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用k表示出来，从而写出 ，由函数 的特点求得其定义域及单调区间．
解：（1）设 的方程为： ，将它代入方程 ，得
设 ，则
将 代入 得： ，即P点坐标为 ．
由 ，知焦点 ，∴直线 的斜率
∴函数 ．
（2）∵ 与抛物线有两上交点，∴ 且
解得 或
∴函数 的定义域为
当 时， 为增函数．
例4 如图所示：直线l过抛物线 的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．
分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．
证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．
设C、D的坐标分别为 与 ．则
∴l的方程为
∵直线l平分弦CD
∴CD的中点 在直线l上，
即 ，化简得：
由 知 得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线．
证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上，∴
由抛物线定义， 到抛物线的准线 的距离相等．
∵ ，
∴CD的垂直平分线l： 与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．
例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程．
分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点 ；待求得 的关系后再用动点坐标 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．
解法一：设
则： ，
， 即
， ①
把N点看作定点，则AB所在的直线方程为： 显然
代入 化简整理得：
， ②
由①、②得： ，化简得
用x、y分别表示 得：
解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设 ，则以OA为直径的圆方程为：
①
设 ，OA⊥OB，则
在求以OB为直径的圆方程时以 代 ，可得
②
由①＋②得：
例6如图所示，直线 和 相交于点M， ⊥ ，点 ，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形， ， ，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．
解：以 为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．
由题意，曲线段C是N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段C满足的抛物线方程为： 其中 、 为A、B的横坐标
令 则 ，
∴由两点间的距离公式，得方程组：
解得 或
∵△AMN为锐角三角形，∴ ，则 ，
又B在曲线段C上，
则曲线段C的方程为
例7如图所示，设抛物线 与圆 在x轴上方的交点为A、B，与圆 在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求 ．（2）求△ABQ面积的最大值．
分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出 ．
解：（1）设
由 得： ，
由 得 ，
同 类似，
则 ，
（2）
，∴当 时， 取最大值 ．
例8 已知直线 过原点，抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴的正半轴上，且点 和点 关于直线 的对称点都在 上，求直线 和抛物线 的方程．
分析：设出直线 和抛物线 的方程，由点 、 关于直线 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设 ，利用对称的几何性质和三角函数知识求解．
解法一：设抛物线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
则有点 ，点 关于直线 的对称点为 、 ，
则有 解得
解得
如图， 、 在抛物线上
∴
两式相除，消去 ，整理，得 ，故 ，
由 ， ，得 ．把 代入，得 ．
∴直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 ．
解法二：设点 、 关于 的对称点为 、 ，
又设 ，依题意，有 ， ．
故 ， ．
由 ，知 ．
∴ ， ．
又 ， ，故 为第一象限的角．
∴ 、 ．
将 、 的坐标代入抛物线方程，得
∴ ，即 从而 ， ，
∴ ，得抛物线 的方程为 ．
又直线 平分 ，得 的倾斜角为 ．
∴ ．
∴直线 的方程为 ．
说明：
(1)本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到．
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握．
例9 如图，正方形 的边 在直线 上， 、 两点在抛物线 上，求正方形 的面积．
分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．
解：∵直线 ， ，∴设 的方程为 ，且 、 ．
由方程组 ，消去 ，得 ，于是
， ，∴ (其中 )
∴ ．
由已知， 为正方形， ，
∴ 可视为平行直线 与 间的距离，则有
，于是得 ．
两边平方后，整理得， ，∴ 或 ．
当 时，正方形 的面积 ．
当 时，正方形 的面积 ．
∴正方形 的面积为18或50．
说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件．
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ，求这彗星与地球的最短距离．
分析：利用抛物线有关性质求解．
解：如图，设彗星轨道方程为 ， ，焦点为 ，
彗星位于点 处．直线 的方程为 ．
解方程组 得 ，
故 ．
．
故 ，得 ．
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点．焦点到抛物线顶点的距离为 ，所以彗星与地球的最短距离为 或 ，（ 点在 点的左边与右边时，所求距离取不同的值）．
说明：
(1)此题结论有两个，不要漏解；
(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设 为抛物线 上一点，焦点为 ，准线方程为 ，依抛物线定义，有 ，当 时， 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．
例11 如图，抛物线顶点在原点，圆 的圆心是抛物线的焦点，直线 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点，求 的值．
分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．
解：由圆的方程 ，即 可知，圆心为 ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为 ，设抛物线方程为 ，
∵ 为已知圆的直径，∴ ，则 ．
设 、 ，∵ ，而 、 在抛物线上，
由已知可知，直线 方程为 ，于是，由方程组
消去 ，得 ，∴ ．
∴ ，因此， ．
说明：本题如果分别求 与 则很麻烦，因此把 转化成 是关键所在，在求 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算．
11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.
（1）求证：|AB|= ;
(2)求|AB|的最小值.
（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（ ,0）.
设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ?（x- ）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得
tan2θ?x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.
此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .
设A、B到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .
（2）解析：因|AB|= 的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，
所以，当θ= 时，|AB|有最小值2p.
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证： 为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？
解析：（1）当AB⊥x轴时，m=n=p，
∴ = .
（2）当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x- ),
A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,
∴m= +x1,n= +x2.
将AB方程代入抛物线方程，得
k2x2-(k2p+2p)x+ =0,
∴
∴ =
= .
本题若推广到椭圆，则有 = （e是椭圆的离心率）；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = (e为双曲线的离心率).
13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.
（1）证明：设M（y02,y0），直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k，
直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).
由 得
ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得y0?yE= ,
∴yE= ,∴xE= .
同理可得yF= ,∴xF= .
∴kEF= （定值）.
（2）解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由（1）得E（（1-y0）2,（1-y0)）F（（1+y0）2,-(1+y0)）.
设重心G（x,y），则有
消去参数y0,得y2= (x>0).
14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足 =t +(1-t) (t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.
（1）求证： ⊥ ;
(2)在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.
（1）证明：由 =t +(1-t) (t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3= ?(x-1),即y=x-4.
由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.
∴x1x2=16，x1+x2=12，
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.
∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .
（2)解析：存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，
故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOA?kOB= =-1.
∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y)，
则x= (x1+x2),y= (y1+y2).
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k?(4k）+8=4k2+8.
∴弦AB的中点M的轨迹方程为： 消去k，得y2=2x-8.
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