90题突破高中数学圆锥曲线
1.如图，已知直线L： 的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线 上的射影依次为点D、E。
（1）若抛物线 的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
（文）若 为x轴上一点,求证:
2.如图所示，已知圆 定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 ，点N的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足 的取值范围。
3.设椭圆C： 的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且
⑴求椭圆C的离心率；
⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
l： 相切，求椭圆C的方程.
4.设椭圆 的离心率为e=
（1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.
（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2， ）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1⊥OQ2．
5.已知曲线 上任意一点P到两个定点F1(- ，0)和F2( ，0)的距离之和为4．
（1）求曲线 的方程；
（2）设过(0，-2)的直线 与曲线 交于C、D两点，且 为坐标原点），求直线 的方程．
6.已知椭圆 的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；
（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
7.有如下结论：“圆 上一点 处的切线方程为 ”，类比也有结论：“椭圆 处的切线方程为 ”，过椭圆C： 的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积
8.已知点P（4，4），圆C： 与椭圆E： 有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求 的取值范围．
9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为 ，右焦点 与点 的距离为 。
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率 的直线 ： ，使直线 与椭圆相交于不同的两点 满足 ，若存在，求直线 的倾斜角 ；若不存在，说明理由。
10.椭圆方程为 的一个顶点为 ，离心率 。
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 ： 与椭圆相交于不同的两点 满足 ，求 。
11.已知椭圆 的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作 ，其中圆心P的坐标为 ．
(1) 若椭圆的离心率 ，求 的方程；
（2）若 的圆心在直线 上，求椭圆的方程．
12.已知直线 与曲线 交于不同的两点 ， 为坐标原点．
（Ⅰ）若 ，求证：曲线 是一个圆；
（Ⅱ）若 ，当 且 时，求曲线 的离心率 的取值范围．
13.设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，A是椭圆C上的一点，且 ，坐标原点O到直线 的距离为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点 ，较y轴于点M，若 ，求直线l的方程．
14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点 的切线方程为 为常数）.
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为 的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为 的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足 ，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当 时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且
设点P的轨迹方程为c。
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q
坐标为 求△QMN的面积S的最大值。
16.设 上的两点，
已知 ， ，若 且椭圆的离心率 短轴长为2， 为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
17.如图，F是椭圆 (a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为 ．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1： 相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且 ，求直线l2的方程．
18.如图，椭圆长轴端点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为 ，直线 交椭圆于 两点，问：是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心？若存在，求出直线 的方程;若不存在，请说明理由.
19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 . 直线 交椭圆于 两不同的点.
20.设 ，点 在 轴上，点 在 轴上，且
（1）当点 在 轴上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（2）设 是曲线 上的点，且 成等差数列，当 的垂直平分线与 轴交于点 时，求 点坐标.
21.已知点 是平面上一动点，且满足
（1）求点 的轨迹 对应的方程；
（2）已知点 在曲线 上，过点 作曲线 的两条弦 和 ，且 ，判断：直线 是否过定点？试证明你的结论.
22.已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 、 、 三点．
（1）求椭圆 的方程：
（2）若点D为椭圆 上不同于 、 的任意一点， ，当 内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线 与椭圆 交于 、 两点，证明直线 与直线 的交点在直线 上．
23.过直角坐标平面 中的抛物线 的焦点 作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于A，B两点。
（1）用 表示A，B之间的距离；
（2）证明： 的大小是与 无关的定值，
并求出这个值。
24.设 分别是椭圆C： 的左右焦点
(1)设椭圆C上的点 到 两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为 试探究 的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
25.已知椭圆 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆 的方程；
（II）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程；
（III）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 求 的取值范围.
26.如图所示，已知椭圆 ： ， 、 为
其左、右焦点， 为右顶点， 为左准线，过 的直线 ： 与椭圆相交于 、
两点，且有： （ 为椭圆的半焦距）
（1）求椭圆 的离心率 的最小值；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若 , ，
求证： 、 两点的纵坐标之积为定值；
27.已知椭圆 的左焦点为 ，左右顶点分别为 ，上顶点为 ，过 三点作圆 ，其中圆心 的坐标为
（1）当 ＞ 时，椭圆的离心率的取值范围
（2）直线 能否和圆 相切？证明你的结论
28.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线. ，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（I）证明: 为定值;
（II）若△POM的面积为 ，求向量 与 的夹角；
(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.
29.已知椭圆C： 上动点 到定点 ,其中 的距离 的最小值为1.
（1）请确定M点的坐标
（2）试问是否存在经过M点的直线 ,使 与椭圆C的两个交点A、B满足条件 （O为原点）,若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。
30.已知椭圆 ，直线 与椭圆相交于 两点.
（Ⅰ）若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程；
（Ⅱ）在 轴上是否存在点 ，使 的值与 无关？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
31.直线AB过抛物线 的焦点F，并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点．O是坐标原点．
(I)求 的取值范围；
(Ⅱ)过 A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N点．求证： ∥ ;
(Ⅲ) 若P是不为1的正整数，当 ，△ABN的面积的取值范围为 时，求该抛物线的方程．
32.如图，设抛物线 （ ）的准线与 轴交于 ，焦点为 ；以 、 为焦点，离心率 的椭圆 与抛物线 在 轴上方的一个交点为 .
（Ⅰ）当 时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线 经过椭圆 的右焦点 ，与抛物线 交于 、 ，如果以线段 为直径作圆，试判断点 与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数 ，使得 的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数 ；若不存在，请说明理由．
33.已知点 和动点 满足： ,且存在正常数 ，使得 。
（1）求动点P的轨迹C的方程。
（2）设直线 与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。若 求 的值。
34.已知椭圆 的右准线 与 轴相交于点 ，右焦点 到上顶点的距离为 ，点 是线段 上的一个动点.
（I）求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点 且与 轴不垂直的直线 与椭圆交于 、 两点,使得 ,并说明理由.
35.已知椭圆C： ( .
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为 ，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点 的直线 与椭圆C交于不同的两点 ，且 为锐角（其中 为坐标原点），求直线 的斜率k的取值范围;
（3）如图，过原点 任意作两条互相垂直的直线与椭圆 ( )相交于 四点，设原点 到四边形 一边的距离为 ，试求 时 满足的条件.
36.已知 若过定点 、以 ( )为法向量的直线 与过点 以 为法向量的直线 相交于动点 ．
(1)求直线 和 的方程;
(2)求直线 和 的斜率之积 的值，并证明必存在两个定点 使得 恒为定值；
(3)在（2）的条件下，若 是 上的两个动点，且 ，试问当 取最小值时，向量 与 是否平行，并说明理由。
37.已知点 ,点 (其中 )，直线 、 都是圆 的切线．
（Ⅰ）若 面积等于6，求过点 的抛物线 的方程；
（Ⅱ）若点 在 轴右边，求 面积的最小值．
38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。
（1）设F1、F2是椭圆 的两个焦点，点F1、F2到直线 的距离分别为d1、d2，试求d1?d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。
（2）设F1、F2是椭圆 的两个焦点，点F1、F2到直线
（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1?d2的值。
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。
39.已知点 为抛物线 的焦点，点 是准线 上的动点，直线 交抛物线 于 两点，若点 的纵坐标为 ，点 为准线 与 轴的交点．
（Ⅰ）求直线 的方程；（Ⅱ）求 的面积 范围；
（Ⅲ）设 ， ，求证 为定值．
40.已知椭圆 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆 的方程；
（II）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程；
（III）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 求 的取值范围.
41.已知以向量 为方向向量的直线 过点 ，抛物线 ： 的顶点关于直线 的对称点在该抛物线的准线上．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 、 是抛物线 上的两个动点，过 作平行于 轴的直线 ，直线 与直线 交于点 ，若 （ 为坐标原点， 、 异于点 ），试求点 的轨迹方程。
42.如图，设抛物线 （ ）的准线与 轴交于 ，焦点为 ；以 、 为焦点，离心率 的椭圆 与抛物线 在 轴上方的一个交点为 .
（Ⅰ）当 时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线 经过椭圆 的右焦点 ，
与抛物线 交于 、 ，如果以线段 为直径作圆，
试判断点 与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数 ，使得 的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数 ；若不存在，请说明理由．
43.设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合， 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 且过椭圆右焦点 的直线 与椭圆C交于 两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)是否存在直线 ，使得 .若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦， MN AB，求证： 为定值．
44.设 是抛物线 的焦点，过点M(－1，0)且以 为方向向量的直线顺次交抛物线于 两点。
（Ⅰ）当 时，若 与 的夹角为 ，求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点 满足 ，证明 为定值，并求此时△ 的面积
45.已知点 ，点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上，点 在直线 上，且满足 .
（Ⅰ）当点 在 轴上移动时，求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设 、 为轨迹 上两点，且 >1, >0, ，求实数 ，
使 ，且 .
46.已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为A，P为C 上任一点，MN是圆 的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为 的直线 恰好与圆 相切。
（1）已知椭圆 的离心率；
（2）若 的最大值为49，求椭圆C 的方程.
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