解决身边的植树问题（2）
植树问题的三要素：
总路线长、间距(棵距)长、棵数．只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．
植树问题的分类：
(1)线型的植树问题 ⑵ 封闭型植树问题 ⑶特殊类型的植树问题
①两端都植树：棵数比间隔数多1．
三要素之间的关系如下：
棵数=间隔＋1=全长÷间距＋1；
全长=间距×(棵数－1)；
间距=全长÷(棵数－1)。
②一端植树：棵数与段数相等．
三要素之间的关系如下：
棵数=全长÷间距； 全长=间距×棵数； 间距=全长÷棵数。
③两端都不植树：棵数比段数少1棵．
三要素之间的关系如下：
棵数=段数－1=全长÷间距－1；
全长=间距×（棵数＋1）；
间距=全长÷(棵数＋1)。
封闭型植树问题
封闭型植树问题是指在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。
基本关系式为：
棵数＝总距离÷棵距；总距离＝棵数×棵距 棵距＝总距离÷棵数
二、选择
1．7路公共汽车行驶路线全长8千米，每相邻两站的距离是1千米。一共有几个车站？正确的算式是（ ）。
A. 7÷1+1 B. 8÷1-1 C. 8÷1+1
考查目的：考查学生是否能正确运用植树问题的数学模型解决问题。
答案：C
解析：本题首尾都要设车站，属于在一条线段上两端都栽的植树问题。一共有几个车站也就是求植树棵数，植树棵数=间隔数+1，因此应该用8÷1+1，正确答案是C。
选项A 错在求间隔数的方法，应该用全长8 km除以每相邻两站的距离，而不是7÷1，教师应提醒学生认真审题。
2．一根木头长10米，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？
这道题属于哪种类型？（ ）
A. 不是植树问题 B. 两端都栽的植树问题 C. 两端都不栽的植树问题
考查目的：考查学生能否正确分辨生活中的植树问题的具体类型。
答案：C
解析：锯木头中隐藏着总数和间隔数之间的关系，也属于植树问题。本题属于在一条线段上植树两端都不栽的情况，因此正确答案是C。
3．工程队埋电线杆，每隔40 m埋一根，连两端在内，共埋71根。这段路全长（ ）米。
A. 40×（71+1）=2880
B. 40×71=2840 C.40×（71-1）=2800
考查目的：考查学生能否正确区分在一条线段上植树的三种情况的不同数量关系。
答案：C
解析：本题是在一条线段上两端都栽的植树问题的逆向应用，全长=间距×间隔数，在两端都栽的情况下，间隔数=植树棵数-1，因此正确答案是C。
4．小华和爷爷同时上楼，小华上楼的速度是爷爷的2倍，当爷爷到达4楼时，小华到了（ ）楼。
A. 8 B. 7 C. 6
考查目的：考查学生是否能综合运用植树问题的数学模型灵活解题。
答案：B
解析：爷爷到达4楼走了3层楼梯，小华的速度是爷爷的2倍，这时小华应该走了6层楼梯，所以小华应该到了7楼，正确答案是B。如果学生没有按植树问题思路思考，直接用4×2=8，就会出现选A的错误。
5．一根20 m长的长绳，可以剪成（ ）根2 m长的短绳，要剪（ ）次。
A. 10；9 B. 10；10 C. 9；10
考查目的：考查学生能否分清在一条线段上的植树问题中的间隔数和植树棵数。
答案：A
解析：本题可以用植树问题的思想方法来解决。要求20 m的长绳可以剪成几根2 m长的短绳，也就是求20里面有几个2，用20÷2=10，也就是剪成10段；剪的次数比段数少1，10-1=9，要剪9次，所以正确答案是A。
三、解决问题
1．星光小区车位不足，在小区路的一边每5 m安置一个车位，用“⊥”标志隔开，在一段100 m长的路边最多可停放多少辆车？需要画多少个“⊥”标志？
考查目的：考查学生用植树问题的数学模型解决生活中实际问题的能力。
答案：①100÷5=20（辆）； ②20-1=19（个）。
答：最多可停放20辆车，需要画19个“⊥”标志。
解析：路的两端不用画“⊥”标志，本题相当于在一条线段上两端都不栽的植树问题。先用100÷5=20，求出有20个间隔，即可以停放20辆车；再用间隔数-1，求出植树棵数， 20-1=19，也就是需要画19个“⊥”标志。
2．一条小道两旁，每隔5米种一棵树（两端都栽），共种202棵树，这条路长多少米？
考查目的：考查在一条线段上植树问题的逆向应用。
答案：202÷2＝101（棵) 101-1＝100（个) 5×100＝500（米)
答：这条小道长500米。
解析：首先审题时注意，是小道两旁共种202棵树，先用202÷2=101，求出道路一边植树101棵。在两端都栽的情况下，间隔数=植树棵数-1，101-1=100，有100个间隔，再用间距×间隔数即求出全长，所以得5×100=500米。
3．在400米的环形跑道四周每隔5米插一面红旗，两面黄旗，需要多少面红旗，多少面黄旗？
考查目的：考查运用在封闭曲线上的植树问题的数学模型解决问题的能力。
答案：
400÷5＝80（段) 红旗：1×80＝80（面) 黄旗：2×80＝160（面)
答：共需要80面红旗，160面黄旗。
解析：本题是在封闭曲线上的植树问题，植树棵数=间隔数，先求间隔数400÷5=80。由于每个间隔插一面红旗，所以红旗的面数就等于间隔数；而每个间隔插两面黄旗，所以黄旗数量为2×80=160。
4．学校的苗圃长17m，宽5 m，平均每平方米种2株杜鹃花，一共可以种多少株杜鹃花？
考查目的：考查学生是否能正确区分所问问题是否属于植树问题。
答案：17×5=85（m2） 85×2=170（株）
答：一共可以种170株杜鹃花。
解析：本题以种花为题材，看似植树问题，实际并不属于植树问题，因此不能用植树问题的思路来解答。题中给出的信息是“平均每平方米种2株杜鹃花”，要求一共种多少株杜鹃花，必须先求出苗圃的面积。学生如果不认真审题看图，就容易受本单元所学植树问题的干扰，出现先求周长然后按植树问题数学模型来解答的错误。
5．学校六一庆祝会上，在一个长9 m、宽3 m的长方形舞台外沿，每隔1m挂一束气球（一束气球有3个），靠墙的一面不挂，但四个角都要挂。一共需要多少个气球？
考查目的：考查学生综合运用周长和植树问题等相关知识解决实际问题的能力。
答案：3×2+9=15（m） 15÷1+1=16（束） 3×16=48（个）
答：一共需要48个气球。
解析：本题既不是在一条线段上的植树问题，也不是在封闭曲线上的植树问题，但可以“化曲为直”，转化为在一条线段上的植树问题。先把挂气球的三条边相加求出全长，即3×2+9=15（m）；由于四个角都要挂气球，相当于“两端都要栽”的情况，植树棵数=间隔数+1，15÷1+1=16，求出一共挂16束气球；一束气球有3个，求一共需要多少个气球，所以最后一步用3×16=48求得气球的数量。
