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纯数学教程(纪念版) |
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纯数学教程(纪念版) |
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基本信息·出版社：人民邮电出版社
·页码：485 页
·出版日期：2009年07月
·ISBN：7115208204/9787115208200
·条形码：9787115208200
·版本：第1版
·装帧：平装
·开本：16
·正文语种：中文
·丛书名：图灵原版数字·统计学系列
·外文书名：A Gourse of Pure Mathematecs Centenary Edition
内容简介 《纯数学教程(纪念版)》以简洁易懂的数学语言，全面系统地介绍了基础数学的方方面面，并对许多经典的数学论证给出了严谨的证明。《纯数学教程(纪念版)》共分10章，在介绍了实数、复数的概念后，从第4章和第5章引入了极限的概念，较之一般书的处理方法更为轻松自然、易于接受。另外，《纯数学教程(纪念版)》每章后面配有大量有代表性的杂例，供读者参考练习以巩固所学知识。
《纯数学教程(纪念版)》适合每位学习数学以及对数学感兴趣的人学习和阅读。
作者简介 哈代（G.H.Hardy），（1877—l947）英国数学界和英国分析学派的领袖，享誉世界的数学大师，在数论和分析学方面有着巨大的贡献和深远影响。培养和指导了众多数学大家，其中包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚等。他还著有《数论导引》、《不等式》和《一个数学家的自白》等，前两部著作中译本已由人民邮电出版社出版。
媒体推荐 “本书之于数学犹如费曼的《物理学讲义》之于物理学。”
——亚马逊书评
编辑推荐 《纯数学教程(纪念版)》是一部百年经典，是20世纪初数学分析领域的奠基性著作。书中系统阐述了微积分的理论体系，对很多经典的数学定理给出了严谨的证明，闪烁着作者数学思想智慧的光芒。书中收集了许多极有价值的练习题，包括当年英国剑桥大学荣誉学位考试的试题。
《纯数学教程(纪念版)》可作为数学分析课程的参考教材，值得每位数学爱好者阅读和收藏。
目录 第1章 实变量
1.实数
2.用直线上的点表示有理数
3.无理数
4.无理数（续）
5.无理数（续）
6.无理数（续）
7.无理数（续）
8.实数
9.实数之间的大小关系
10.实数的代数运算
11.实数的代数运算（续）
12.数sqrt
13.二次根式
14.关于二次根式的某些定理
15.连续统
16.连续的实变量
17.实数的分割
18.极限点
19.Weierstrass定理
第1章杂例
第2章 实变函数
20.函数的概念
21.函数的图形表示
22.极坐标
23.函数和它们的图的表示的进一步的例子
24.有理函数
25.有理函数（续）
26.显式代数函数
27.隐式代数函数
28.超越函数
29.其他的超越函数类
30.一元方程的图形解
31.二元函数及其图形表示
32.平面曲线
33.空间中的轨迹
第2章杂例
第3章 复数
34.沿直线和在平面上的位移
35.位移的等价与位移的数乘
36.位移的加法
37.位移的乘法
38.位移的乘法（续）
39.复数
40.复数（续）
41.方程i^2=-
42.用i作乘法的几何解释
43.方程z^2+1=0,az^2+2bz+c=
44.Argand图
45.DeMoivre定理
46.几个关于复数的有理函数的定理
47.复数的根
48.方程z^n=a的解
49.DeMoivre定理的一般形式
第3章杂例
第4章 正整变量函数的极限
50.一个正整变量的函数
51.插值
52.有限类和无限类
53.当n很大时n的函数所具有的性质
54.当n很大时n的函数所具有的性质（续）
55.习用语“n趋向无穷大”
56.当n趋向无穷大时，n的函数Φ（n）的性状
57.当n趋向无穷大时，n的函数phi（n）的性状（续）
58.极限的定义
59.极限的定义（续）
60.极限的定义（续）
61.关于定义的几个要点
62.振荡函数
63.某些关于极限的一般性的定理
64.定理I的附属结果
65.B.两个性状已知的函数的乘积之性状
66.C.两个性状已知的函数的差以及商的性状
67.定理V
68.定理V（续）
69.以n为变量且与n一起递增的函数
70.对定理的说明
71.第19节中Weierstrass定理的另一证明
72.当n趋向∞时x^n的极限
73.（1+1/n）^n的极限
74.某些代数引理
75.n（sqrt[n]x-1）的极限
76.无穷级数
77.关于无穷级数的一般性定理
78.无穷几何级数
79.用极限来表示一元连续实变函数
80.有界集合的界
81.有界函数的界
82.一个有界函数的不定元的极限
83.有界函数收敛的一般原理
84.无界函数
85.复函数以及复项级数的极限
86.定理的推广
87.z^n当n→∞时的极限，z是任意的复数
88.当z为复数时的几何级数1+z+z^2+...
89.符号O,o,～
第4章杂例
第5章 一个连续变量的函数之极限，连续函数和不连续函数
90.x趋向∞时的极限
91.当x趋向-∞时的极限
92.与第4章第63～69节的结论相对应的定理
93.当x趋向0时的极限
94.当x趋向a时的极限
95.递增以及递减的函数
96.不定元的极限以及收敛原理
97.不定元的极限以及收敛原理（续）
98.符号O,o,～：小量和大量的阶
99.一个实变量的连续函数
100.一个实变量的连续函数（续）
101.连续函数的基本性质
102.连续函数的进一步的性质
103.连续函数的取值范围
104.函数在区间中的振幅
105.第103节定理2的另外的证明
106.直线上的区间集合，Heine-Borel定理
107.连续函数的振幅
108.多元连续函数
109.隐函数
110.反函数
第5章杂例
第6章 导数和积分
111.导数或者微分系数
112.某些一般性的注解
113.某些一般性的注解（续）
114.微分法的某些一般法则
115.复函数的导数
116.微分学的记号
117.标准形式
118.有理函数
119.代数函数
120.超越函数
121.高阶导数
122.关于导数的某些一般性的定理
123.极大和极小
124.极大和极小（续）
125.极大和极小（续）
126.中值定理
127.中值定理（续）
128.Cauchy中值定理
129.Darboux的一个定理
130.积分
131.实际的积分问题
132.多项式
133.有理函数
134.有理函数的实际积分法的注记
135.代数函数
136.换元积分法和有理化积分法
137.与圆锥曲线有关的积分
138.积分∫dx/sqrt（ax^2+2bx+c）
139.积分∫λx+μ/sqrt（ax^2+2bx+c）dx
140.积分∫（λx+μ）sqrt（ax^2+2bx+c）dx
141.分部积分
142.一般的积分∫R（x,y）dx，其中y^2=ax^2+2bx+c
143.超越函数
144.以x的倍数的余弦以及正弦为变量的多项式
145.积分∫x^ncosxdx，∫x^nsinxdx以及与之相关联的积分
146.cosx和sinx的有理函数
147.包含arcsinx,arctanx以及logx的积分
148.平面曲线的面积
149.平面曲线的长度
第6章杂例
第7章 微分学和积分学中另外一些定理
150.更高阶的中值定理
151.Taylor定理的另一形式
152.Taylor级数
153.Taylor定理的应用，A.极大与极小
154.B.某些极限的计算
155.C.平面曲线的切触
156.多元函数的微分法
157.二元函数微分法
158.二元函数的微分（续）
159.二元函数的中值定理
160.微分
161.定积分和面积
162.定积分
163.圆的扇形面积，三角函数
164.由定积分的和式极限的定义计算定积分
165.定积分的一般性质
166.分部积分法和换元积分法
167.用分部积分法证明Taylor定理
168.余项的Cauchy形式对于二项级数的应用
169.定积分的近似公式，Simpson公式
170.单实变复函数的积分
第7章杂例
第8章 无穷级数和无穷积分的收敛性
171.引言
172.正项级数
173.正项级数（续）
174.这些判别法的首批应用
175.比值判别法
176.一个重要定理
177.正项级数的乘法
178.进一步的收敛与发散判别法
179.Abel（或者Pringsheim）定理
180.Maclaurin（或者Cauchy）积分判别法
181.级数∑n^-s
182.Cauchy并项判别法
183.进一步的比值判别法
184.无穷积分
185.Φ（x）取正值的情形
186.换元积分法以及分部积分法对无穷积分的应用
187.其他类型的无穷积分
188.其他类型的无穷积分（续）
189.在用变量代换法时需要小心从事
190.有正负项的级数
191.绝对收敛的级数
192.Dirichlet定理对绝对收敛级数的推广
193.条件收敛的级数
194.条件收敛级数的收敛判别法
195.交错级数
196.Abel收敛判别法与Dirichlet收敛判别法
197.复数项级数
198.幂级数
199.幂级数（续）
200.幂级数的收敛域，收敛圆
201.幂级数的唯一性
202.级数的乘法
203.绝对收敛和条件收敛的无穷积分
第8章杂例
第9章 单实变对数函数、指数函数和三角函数
204.引言
205.logx的定义
206.logx所满足的函数方程
207.当x趋向无穷时logx趋向无穷的方式
208.当x→∞时x^-alogx→0的证明
209.当x→+0时logx的性状
210.无穷大的尺度，对数尺度
211.数e
212.指数函数
213.指数函数的主要性质
214.一般的幂a^x
215.e^x表示为极限
216.logx表示成极限
217.常用对数
218.级数和积分收敛的对数判别法
219.与指数函数以及对数函数有关的级数，用Taylor定理展开e^x
220.对数级数
221.反正切函数的级数
222.二项级数
223.建立指数函数和对数函数理论的另一种方法
224.三角函数的解析理论
225.三角函数的解析理论（续）
226.由第225节的（1）以及第224节的（4）得到
第9章杂例
第10章 对数函数、指数函数以及三角函数的一般理论
227.单复变函数
228.单复变函数（续）
229.实的和复的曲线积分
230.Logζ的定义
231.mboxLogζ的值
232.指数函数
233.expζ的值
234.expζ所满足的函数方程
235.一般的幂a^ζ
236.a^ζ的一般的值
237.正弦和余弦的指数的值
238.sinζ和cosζ于ζ的所有值的定义
239.推广的双曲函数
240.与cos（ξ+iη）,sin（ξ+iη）等有关的公式
241.对数函数与反三角函数之间的联系
242.expz的幂级数
243.cosz和sinz的幂级数
244.对数级数
245.对数级数（续）
246.对数级数的某些应用，指数极限
247.二项定理的一般形式
第10章杂例
附录1 Hlder不等式和Minkowski不等式
附录2 每个方程都有一个根的证明
附录3 关于二重极限问题的一个注记
附录4 分析与几何中的无穷
索引
……
序言 英国著名数学家G.H.Hardy所著《纯数学教程》一书是20世纪初奠定了当时数学分析课程基础的一部经典代表作，从第1版出版至今刚好经过了整整一个世纪。这部著作对于今天的数学分析这一重要的数学基础课程的部分内容（主要是一元函数的微分学和积分学）作了系统的阐述，并且书中还引用了当年英国剑桥大学荣誉学位考试所采用的许多试题作为给本书读者的练习。作者精彩的讲述与富有思考价值的例子以及习题相得益彰，使本书直到今天依然是每个现代数学分析课程的初学者乃至教师应该参考的有价值的经典著作。本书译者45年前也曾是千千万万个由于迷恋数学而沉醉于学习这部著作的读者之一。我有幸在文化革命结束后的1978年进入中国科学院研究生院重新获得学习数学的机会，并于1982年初毕业后回到我当初就读的大学数学系工作。我惊奇地发现，与我同住一间宿舍的一位年轻教师拿在手里刻苦研读的正是这部英文版的《纯数学教程》。Hardyr这部名著对于中国数学界的长久而深远的影响由此可见一斑。
Hardy是20世纪世界著名的数学家，他单独或者与他人合作写过多部数学史上不朽的经典著作，而且许多著作至今仍极有参考价值。此外，他还在数学的众多分支特别是数论这个分支的研究中取得过超出同时代的数学家们的杰出成就，他的数学创造和思想至今仍是当代数学家们研究的对象和源泉。例如他和印度数学家S.A..Ramanujan等人所创立的圆法就是解决许多解析数论重大难题的强有力的方法之一。此外，Hardy对于中国数学界的影响还远不止他的著作和研究工作产生的间接影响。众所周知，由于美国著名数学家、控制论创始人、曾是Hardy学生的N.Wiener的推荐，华罗庚于1936年受到Hardy的邀请到剑桥大学作访问学者。华罗庚在剑桥得到以Hardy为核心的数学研究集体中许多年轻一代数学家的帮助。华罗庚在与他们的交流中获益匪浅，并且在此期间发表了至少15篇论文。这一历史表明，对于华罗庚个人的学术成就，以及他后来培养整整一代新中国数学家的贡献，Hardy本人是有重大而直接的影响的。从这个意义上说，我们中国数学界应该大大地感谢Hardy。
这部书的英文版中有少量的印刷错误，书中所用的个别数学名词与今天通用的名词有点不同，并且书中的某些论证在今天的读者看来也许不够严格，甚至有值得商榷之处。但无论如何，我认为Hardy的这部著作仍然是一本值得所有热衷学习现代数学的年轻人一读的好书。译者尽自己所能纠正了所发现的错误，并对少数问题加了适当的注解，希望能对现在的读者有所帮助。
文摘 插图：
