2009年中级质量专业理论与实务精讲（八）

　　第九讲 参数估计点估计

　　一、考试要求

　　2.掌握矩法估计方法

　　3.熟悉点估计优良性的标准

　　4.熟悉二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布参数的点估计

　　二、 内容讲解

　　参数估计

　　根据样本对总体进行推断是数理统计的核心，参数估计与假设检验是统计推断的两个基本内容。本节着重讨论参数估计问题。

　　这里所说的参数主要是指如下几类：

　　①分布中的未知参数，如二项分布b(n，p)中的p，正态分布 中的 ， 或 。

　　②分布的均值E(x)、方差Var(x)等未知特征数。

　　③其他未知参数，如某事件的概率P(A)等。

　　上述未知参数都需要根据样本和参数的统计含义选择适宜的统计量并作出估计，这一统计推断过程通称为参数估计。未知参数通常用 表示。

　　参数估计有两种基本形式：点估计与区间估计。

　　一、点估计

　　(一) 点估计的概念

　　设 是总体的一个未知参数，记与总体对应的随机变量为X，从中抽取样本量为n的一个样本 。根据这个样本，构造一个统计量 ，用 来对 进行估计，称 为 的点估计量。对一个具体的样本 ，可计算 的一个具体的数值，称为 的估计值。在本教材中，除讨论统计量的分布及性质外，不严格区分估计量及具体估计值，通称为估计。

　　(二)点估计优良性标准

　　点估计量 是随所抽取的样本不同而不同的，它是一个随机变量。评价一个估计量 的优劣不能从一个具体样本获得的估计值来评判，应该从多次使用中来评定。

　　对于一个特定的样本，估计值 与 的真值之间总是有偏差的，但由于 未知，因此偏差 也未知。但是我们可以通过多次抽样，对不同样本， 不同的具体估计值，对实际偏差 进行“平均”。当然这种平均不能直接进行，因为 有正有负，直接平均由于正负抵消反而不能反映误差。与以前对方差处理的方法相仿，用估计偏差的平方 来代替，并对其求均值，于是用 来表示估计量 的优劣。这个量称为 的均方误差，简记为MSE( )，均方误差实际上是平均平方误差的意思。虽然由于 是未知的，MSE( )也并不是总能求得的。但是经过简单的推导，总有

　　MSE( )= 。 (交叉乘积项为零)

　　(三) 求点估计的方法-一矩法估计

　　参数估计时，一个直观的思想是用样本均值作为总体均值的估计，用样本方差作为总体方差的估计等。由于均值与方差在统计学中统称为矩，总体均值与总体方差属于总体矩，样本均值与样本方差属于样本矩。因此上面的做法可用如下两句话概括：

　　(1)用样本矩去估计相应的总体矩。

　　(2)用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数。

　　此种获得未知参数的点估计的方法称为矩法估计。

　　矩法估计简单而实用，所获得的估计量通常(尽管不总是如此)也有较好的性质。例如对任何总体，样本均值 对总体均值 的估计总是无偏的，样本方差 对总体方差 的估计也总是无偏的。但是应该注意到矩法估计不一定总是最有效的，而且有时估计也不惟一。