透过表象看本质！？之三——Kalman滤波
数据拟合能够估计出数据变化的趋势，另外一个同等重要的应用是如何利用这一趋势，预测下一时刻数据可能的值。通俗点儿说，你观察苍蝇（蚊子，蜜蜂）飞了几秒，你也许会想“它下一个时刻可能在哪儿”，“呈现出什么样的状态”诸如此类的问题。预知未来这档子事儿对我们有一种不可抗拒的吸引力。别看我们预测的未来很近，但这对于实际应用有很大的帮助。比如减小解空间的范围，便于搜索。对于搜索问题，预测可以看成是对从当前状态到目标状态的启发评价函数。好吧，我承认我陷得太深了，都是复习人工智能搞得。扯得有点儿远了，继续说我们的主题，预测。
古人每遇到重大活动，都会卜上一卦。念几句咒语，抽个签，看看签释，心里大概对所问之事有了个谱儿。再比如，这几天你的左眼皮一直在跳，你想知道这是为什么，意味着什么。你跑去算了一卦。抽签的时候，你心里默念着是不是要捡到钱了等等，结果抽了一个上上签，说你要遇到好事儿。“这几天眼皮跳”是你的观察数据。“你想知道未来会发生什么”是我们想要预测的东西。抽签的时候你心里默念的话，签儿，签上的符号和某些事件的对应关系，这些都是预测的算法。虽然占卜的过程包含了观察，有预测算法，有预测结果，同时也有结果的方差范围等等。但是我们说这种预测是不科学的，因为预测算法不科学，因果关系不见得成立等等。那有没有科学的预测呢，让我们进入今天的话题，Kalman滤波。
假设这样一个场景，A先生使用遥控器控制一架四轴直升飞机F在一个空旷的场地上飞行。直升飞机F上有一个GPS模块，通过无线发射模块实时的将直升飞机F的位置发给计算终端C。B先生在终端C上运行一个“打”直升飞机F的程序D。程序D根据终端C接收的GPS数据，指导一个虚拟的导弹E去跟踪直升飞机F，并试图将F“击落”。
A先生控制的直升飞机F飞行轨迹多变，很难被跟踪。同时，终端接收的GPS数据中还有噪声。B先生引导的导弹E燃料有限，因此不能长时间、频繁地机动。因此，B先生希望程序D要尽可能准的估计出F的位置，尽可能少机动，跟踪F并将其击落。
假如，A先生控制F急速攀升，如图1a。D得到的数据如图1b中的红色点。如果不进行预测，直接根据GPS数据控制E机动，E的运动轨迹如图1c，绿色的轨迹线。E很可能因燃料不足提前爆炸，而没有击中F。B先生很希望D能够根据GPS数据计算出如图1d所示的轨迹（橙色的轨迹线），来引导E去追踪F。
a b c d
图1 a、被观测对象实际的运动轨迹；b、我们观测到的被观测对象的运动轨迹；
c、如果不滤波的话，预测的轨迹；d、滤波后的预测轨迹。
假如A先生很狡猾，他控制F飞行，其飞行轨迹如图2所示。B先生深感压力巨大，如何才能有效的跟踪F，并将其击落呢。
图2 A先生控制的直升飞机F可能飞出的轨迹（终端C得到的GPS数据）。
颜色越深，获取数据的时间越早；反之，颜色越浅，获取时间越晚。
程序D根据终端C提供的GPS数据，估计F的位置（x，y），时间t的采样记为。使用前t个时刻的采样
，估计
，使得该估计满足，
(1)
(2)
其中，为范数。公式(1)是对历史数据的平滑（smooth，filter），公式(2)是对未来数据的预测（predict）。求解
的过程是数据模型的更新。正如绪论中讨论的那样，数据模型可以形式化为，
其中s为观测直接得到的数据，为观测数据的一阶微分或者偏微分，
为二阶微分或者偏微分，省略的部分为更高阶的微分或者偏微分。假如模型的复杂度函数h和模型涉及的数据的阶数相关，阶数越小复杂度越小，阶数越高复杂度越高。估计需要满足的第三个公式是
(3)
模型的复杂度控制就是正则化。
B将D指导E跟踪F轨迹这一问题抽象为这样一个模型，其中涉及观察变量和状态变量。观察变量是终端C得到的GPS数据，状态变量
是程序D用于估计F位置的。Ft-1是状态转移矩阵，描述F的运动模型。Gt-1是控制矩阵，
是外控制变量。Ht是观测矩阵，描述观测和状态之间的关系。Wt-1和Vt是高斯白噪声，covariance分别是Q和R，假设其不随状态变量变化。
(4)
(5)
Ft和Ht的如何确定的呢？我们首先插入一段广告。对于一个具有n阶导数的函数f，其在x处的泰勒展开为
(6)
忽略2阶以上的项，取x=t，x0=t-1，则上式可以写成
(7)
对上式分别求1阶和2阶导数有
(8)
(9)
用矩阵的形式重写公式（7）如下
(10)
对于离散模型的，微分用差分近似表示，式（8）（9）改写为
(11)
(12)
(13)
式（13）给出了要估计的函数、导数与观测数据之间的关系。
广告时间结束，言归正传Ft描述的是状态之间的关系。该关系受到运动学的基本关系式的约束。牛顿运动学定律可以使用式（10）表示。
如果，我们想实时更新状态变量的值，式（13）告诉我们，观测数据是如何影响状态变量的。如果不想实时更新，就可以仅用式（10）。
根据式（10），Ft和Ht的具体形式为
(14)
(15)
(16)
在t时刻，根据式（4）预测F的当前位置，根据式（5）得到终端C得到的GPS数据的预测值
。使用t-1时刻的最优状态估计
，代入式（4）得
（17）
的covariance更新如下，其中covariance用P表示
（18）
是
的covariance，
是
的covariance。式（17）、（18）完成了预测，如何结合新的观测求解最优估计呢，继续往后看。t时刻的观测变量的预测
（19）
观测变量的covariance
（20）
Kalman增益
（21）
t时刻观测变量的真实值与预测值之间的残差
（22）
t时刻观测变量的最优估计
（23）
其covariance的最优估计是
（24）
公式（17）-（24）可以使用图3解释（图3使用观测变量来表示，而没有具体描述状态变量的预测和寻优的过程）。公式（17）-（19）对应的是图3b，根据图3a的t-1时刻的最优估计预测t时刻的观测变量。公式（20）-（24）对应的是图3d，根据图3c的新观测变量计算最优状态变量和观测变量。
（25）
（26）
首先根据状态转移模型计算状态值的预测，求得观测变量的预测值。然后获得新的观测变量。再结合观测变量和观测变量的预测值，求出状态和观测变量的最优估计值。下面给出的是t时刻最优估计的模型，依然是高斯的。
a b c d
图3 F位置估计
Kalman Filter的matlab代码
a b
图4 a、原始数据和滤波数据；b、拟合误差
上面这段代码中去掉了控制部分，调整q和r可以改善滤波的效果。
在上面的推导过程中，对Kalman滤波有以下几点认识
1、 模型是线性的，体现在公式（4）中；
2、 模型是高斯的，体现在公式（4）、（5）中；
3、式（4）中的F和G矩阵没有更新；
4、状态变量是根据设计者的知识给出的。
综合以上几点，Kalman滤波是一个预设的跟踪器，物体的运动模型，运动之间的关系都是给定的。
我们可以默认这些预设都是正确的，直接来用。但是，人作为第一发现者，是如何从数据中抽象出这些状态，如何从状态到状态的转移求得运动模型，这些都没有解决。如果，这个问题没有解决，我们将无法进入下一个螺旋上升的阶段。说到这里，我不得不怀疑这样一点——我们获得的所谓的运动模型，所谓的状态变量的内容，是不是某些非人类的文明灌输给我们的。如果是这样的，那么我们不可能发现螺旋上升的途径；如果不是这样，这些是我们自己发现的，那么我们就有办法重新发现“发现知识”的过程，指导我们进入下一个螺旋。
