关于一元实函数定义的范例
在《初等微积分》电子版的第一章第二节（全书第6页），该书作者J.Keisler给出一元实函数的定义如下：
Definition（定义）
A real function of one variable is a set f of ordered pairs of real numbers such that for every real number a one of the two following things happens：
(I)There is exactly one real number b for which the ordered pair (a，b) is a member of f. In this case we say that f(a) is defined and we write f(a) = b.
The number b is called the value of f at a.
(ii)There is no real number b for which the ordered pair (a,b) is a member of f. In this case we say that f(a) is undefined.
这是一个符合现代数学（集合论）标准的函数定义，具有布尔巴基风格。在上述定义中，有两个“要点”需要我们注意；
（1）函数f是有序数偶的集合（切记！）不提什么“映射”（相对而言，映射是一个更为复杂和抽象的概念）；
（2）对每一个实数a而言，会发生以下两种不同的情况，
第一种情况：存在唯一确定的实数b，使得有序数偶（a，b）是f的元素，此时，我们说：f(a)有定义，而且记为f(a) = b。此时，我们称数b是函数f在a的值（Value)。
第二种情况：不存在实数b，使得有序数偶(a,b)是f的元素，此时，我们说，f(a)没有定义。
该函数定义只涉及有序数偶（a,b)∈f或是(a,b)?f两种情况，清清楚楚，丝毫没有含混的地方。记号f(a)表示函数f在a的”值“，它正好等于实数b，由此可见，f与f(a)完全是两码事，怎么会混淆不清呢？即使为了叙述方便，也不能将函数f在a的值f(a)说成是函数f本身吧？函数f是有序数偶的集合，而不仅仅是其在某一点a的“值。”《高等数学》的作者们在全书的陈述中，将函数f本身与函数的值f(a)经常混淆不清，使得学生发生“阅读疲劳”，概念混乱，只好不断地“挠头”，拼命“理解”而不得要领，直到最后垂头丧气了事。这难道是《高等数学》国家级规划教材的应有风度吗？
对学生而言，建立正确的函数概念是至关重要的事情。关于函数概念，重要的事情是，要使学生清楚地知道（理解）：a是函数的输入（input），而b是函数的输出(output），函数本身是一个“黑盒子”，内部究竟是什么运行机制是无所谓的，无管紧要。对函数输入任何一个元素a都是可以的（有这种可能性），但是，有的输入a之后立刻就有输出元素b出现，而有的输入a却没有输出b出现，这些情况都是很正常的，没有必要到处发表“声明”：函数f(x)在一个“去心领域内部有定义”，云云，烦人不烦人？
