统计量、抽样分布（3）

四、抽样分布

(一)抽样分布的概念

统计量的分布称为抽样分布。为了说明抽样分布概念，我们先考察下面的例子。

[例1.3-9] 左侧为一个总体，右侧是从该总体随机抽取的4个样本，每个样本均有5个观测值。

从上面的例子可以看出：

(1)每一个统计量都有一个抽样分布。

(2)不同的统计量可得不同的抽样分布。

抽样分布将是今后进行统计推断的基础，一些抽样分布可通过上述抽样方法获得，但是，当样本来自某个正态总体 时，其样本均值 ，样本方差 ，以及它们的某种组合的抽样分布已在理论上被导出，我们将叙述其中三个，即t分布， 分布和F分布，号称“三大抽样分布”。在这之前，我们先回忆一下样本均值的分布。

(二)样本均值 的抽样分布

从抽样分布角度看，中心极限定理一节告诉我们：

(1)当总体分布为正态分布 时，其样本均值 的抽样分布(精确地)为 ，的标准差 。

(2)当总体分布不为正态分布时，只要其总体均值与总体方差存在，则在n较大时，其样本均值 的抽样分布近似于的标准差 。

[例1.3-10] 样本均值 的抽样分布的例子。

(1)设 是来自正态总体N(5，1)的一个样本，则其样本均值 ～N(5，O.2)。 .

(2)设 是来自参数为 的指数分布的一个样本，若 =0.04，则该指数分布的均值与方差分别为：

而该样本均值 ，其中符号“~”表示“近似服从”。

(3)设 是来自二点分布b(1，p)的一个样本，若p=0.02，则该二点分布的均值与方差分别为：

E(x)=p=0.02

Var(x)=p(1-p)=0.02×0.98=0.0196

而其样本均值 =N(0.02，0.01982)。

(4)设 是来自泊松分布P( )的一个样本，则其样本均值 。

(5)在例1.3-9中所涉总体是仅含20个数的有限总体，该总体可用如下随机变量x及其分布表示容易算出该总体的均值与方差，它们分别为E(x)=10.3 Var(x)=1.81

若从该总体每次(可重复)取出样本量为n的一个样本，则样本均值 近似服从N(10.3，1.81/n)。比如

n=5， ～N(10.3，0.362)

n=10， ～N(10.3，0.181)

(三)三大抽样分布

(1)t分布

首先，我们应把注意力放在服从t分布的t变量的构造上。

设 是来自正态总体 的一个样本，则有：

对样本均值 施行标准化变换，则有：

当用样本标准差s代替上式中的总体标准差 ，则上式u变量改为t变量，标准正态分布N(0，1)也随之改为“自由度为n-1的t分布”，记为t(n-1)，即：

自由度为n-1的t分布的概率密度函数与标准正态分布N(0，1)的概率密度函数的图形大致类似，均为对称分布，但它的峰比N(0，1)的峰略低一些，而两侧尾部要比N(O，1)的两侧尾部略粗一点。当自由度超过30后，两者区别已很小，这时可用N(0，1)代替t(n-1)。

(2) 分布

设是来自正态总体 的一个样本，则其样本方差 的n-1倍(也即离差平方和 除以总体方差 的分布是自由度为n-1的 分布，记为 ，即：

自由度为n-1的 分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布。

(3)F分布

设有两个独立的正态总体 和 ，它们的方差相等。又设 是来自 的一个样本; 是来自 的一个样本，两个样本相互独立。它们的样本方差比的分布是自由度为n-1和m-l的F分布：

其中n-1称为分子自由度或第1自由度;m-1称为分母自由度或第2自由度。F分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布。