统计量、抽样分布（2）

(三)描述样本分散程度的统计量

一组数据内部总是有差别的，对一组质量特性数据，大小的差异反映质量的波动。也有一些用来表示数据内部差异或分散程度的量，其中常用的有样本极差、样本方差、样本标准差和样本变异系数。

(1)样本极差

样本极差，就是样本数据中最大值与最小值之差，用R表示。对于有序样本，极差R为：

R= (1.3-4)

例如在例1.3-6，5个轴直径数据的极差R=15.29-15.07=0.22。

样本极差只利用了数据中两个极端值，因此它对数据信息的利用不够充分，极差常用于n不大的情况。

(2)样本方差与样本标准差

数据的分散程度可以用每个数据 偏离其均值 的差 来表示，称为的离差。对离差不能直接取平均，因为离差有正有负，取平均会正负相抵，无法反映分散的真实情况。当然可以先将其取绝对值，再进行平均，这就是平均绝对差：

但是由于对绝对值的研究较为困难，因此平均绝对差使用并不广泛。使用最为广泛的是用离差平方来代替离差的绝对值，因而数据的总波动用离差平方和

来表示，样本方差定义为离差平方和除以n-1，表示：

因为n个离差的总和必为0，所以对于n个独立数据，独立的离差个数只有n-1个，称n-1为离差平方和的自由度，因此样本方差是用n-1而不是用n除离差平方和。

样本方差的正算术平方根称为样本标准差，即：

注意标准差的量纲与数据的量纲一致，所以它使用频繁，但其计算一般通过先计算样本方差 获得。

在具体计算时，离差平方和也可用以下两个简便的公式：

因此样本方差计算可用以下公式：

对例1.3-6的轴直径数据，离差平方和、样本方差及样本标准差的计算可列表进行。

因此：

为了计算方便，可以将数据减去一个适当的常数，这样不影响样本方差及样本标准差的计算结果。例如，在本例中，将每个数据减去15，即可大大减少计算量。在实际使用中还可以利用计算器来计算，特别是许多科学计算用的计算器，都具有平均数、方差与标准差的计算功能。

(3)样本变异系数

样本标准差与样本均值之比称为样本变异系数，有时也称为相对标准差，记为 ;

例如对例1.3-6的轴直径数据，样本变异系数为：

样本变异系数是在消除量纲影响后的样本分散程度的一种度量。