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全国2010年4月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A，B，C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=( )
A.ACB B.CAB
C.CBA D.BCA
2.设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为( )
A.-8 B.-2
C.2 D.8
3.已知A= ，B= ，P= ，Q= ，则B=( )
A.PA B.AP
C.QA D.AQ
4.设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，A的秩为r1，B=AC的秩为r，则( )
A.r>r1 B.r=r1
C.r
5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是( )
A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩(A)=2
B.若A中存在2阶子式不为0，则秩(A)=2
C.若秩(A)=2，则A中所有3阶子式都为0
D.若秩(A)=2，则A中所有2阶子式都不为0
6.下列命题中错误的是( )
A.只含有一个零向量的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
C.由一个非零向量组成的向量组线性相关
D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3,β线性相关，则( )
A.α1必能由α2,α3,β线性表出 B.α2必能由α1,α3,β线性表出
C.α3必能由α1,α2,β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出
8.设A为m×n矩阵，m≠n，则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩( )
A.小于m B.等于m
C.小于n D.等于n
9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为( )
A.AT B.A2
C.A-1 D.A*
10.二次型 的正惯性指数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式 的值为_________.
12.设A为n阶可逆矩阵，且|A|= ，则|A-1|=_________.
13.设矩阵A= ，B= ，则ATB=_________.
14.矩阵方程 X= 的解X=_________.
15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=_________.
16.齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为_________.
17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵 必有一个特征值为_________.
18.设矩阵A= 的特征值为4，1，-2，则数x=_________.
19.已知A= 是正交矩阵，则a+b=_________.
20.二次型 的矩阵是_________.
三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
21.计算行列式D= 的值.
22.设A= ，其中ai≠0(i=1,2,3,4)，求A-1.
23.设向量组α1=(2,1,3,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(-1,1,-3,0)T，α4=(1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.
24.问a为何值时，线性方程组 有惟一解?有无穷多解?并在有解时求出其解(在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解).
25.求矩阵A= 的特征值和全部特征向量.
26.已知二次型 经正交变换 化为标准形 ，求所用的正交矩阵P.
四、证明题(本题6分)
27.设A，B都是n阶方阵，且|A|≠0，证明AB与BA相似.
