去年也考了南开，结果被英语拽下了马，今年痴心未改。以下我先粗略地谈谈对08南开专业课的整体感觉，再对以后考南开的朋友们说说我对数分高代复习的看法。
我感觉南开今年的数分难度比去年有所下降。首先，去年的填空用计算替换了，这样至少可以得过程分了，计算题也都比较常规。另外几道证明题中，根的存在性证明方法很多比较简单，函数项级数那道题目很多书上都有，偏微分方程变换那道题目也是南开教材（复旦版）上的习题原题，收敛反常积分无穷远点的极限问题在裴礼文的书中讨论的就相当详尽（一致连续，导数有界，利普希兹条件都是无穷远点极限为零的充分条件），最后一道体积比的计算关键在于曲面分球体的具体情形不太好想象。
高代感觉难度比去年略有提高。首先，几道计算题不象往年仅仅计算就可以搞定，需要一些基本概念的支撑。其次，今年考到了双线性函数对偶空间对偶基问题，估计很多人连学都没学过（我就属于此类），最后一道题目看着特别面熟，但还是没能看透到底在考什么，其他几道证明题目相对简单一些。
以上是我对今年考题的浅薄见解。同时，我也以一个连续两年的考生给09年的考南开的朋友们说说我的感受。
一、参考数目的选取。首先要有一本教材，自己本科所用教材或者复旦版均可，对于教材一定要保证每道题目都要不仅会做，而且需要去把握每道题目的内涵。其次要有一本题集，我也强烈推荐裴礼文老师的书，他的书起点比较高，所以最好把教材弄透了再去研习，他的书上很多题目相当典型，不仅对考试尤为重要，更关键的是若要真的喜欢数学并进行高一层的数学学习，那他的书上一些比较典型的题目以及思想（当然别的书上也有）几乎是必要的。最后要强调的是真题，包括南开往年的题目，以及北大、中科院、中科大、浙大、清华等名校近三五年的题目。不用做太多的真题，过犹不及，关键在于精做。细心一点就会发现，南开的命题有一定的规律性，比如每年都会考一个数项级数敛散性判别，函数项级数和反常积分也总是围绕两个原型每年适当变换等。不过还是要全面学习，不要仅仅为了考试而学。
二、复习时间的安排。个人认为最好来三轮，基础好的第一二轮也可以合并。三轮所用时间比3：6：1。第一轮，扎实基础。南开（不例外其他名校）很注重基础知识，无论数学分析还是高等代数每年都有一大部分（至少有60%）考查基础功。因此，第一轮需要把最基本的概念、方法掌握。以教材为主，做到教材上的每道题目不仅知其然而且知其所以然。第二轮，拓展视野，加深理解。这一阶段从两个方面展开：一个是拓展知识面，多见识一些题目，多学习一些方法，多练习一些习题；另一个是加深对各个知识板块的理解，不要停留在表层的认识上，遇题多想想，想想它的本质是什么。第三轮，真题演练，查缺补漏。做一些真题，看看到底是怎么考的，特别是对南开近年题目要好好研习，你一定会发现金矿的。做了之后总结两点，一是考点分布范围和题目考察角度，二是自己掌握不太好的知识板块。最后阶段在这两个方面加大力度。
三、数学分析的复习。数学分析有以下几大板块：实数完备性理论，极限理论，单变量连续性，单变量微分学，单变量积分学（包括反常），级数理论（包括函数项级数），多元连续性，多元微分学，多元积分学。其中实数完备性理论虽然可能不会直接考查，但实数完备性各定理等价证明的思想却每年都能有所涉及。
极限作为数分的工具，其重要性怎么说也不为过，无论是导数还是定积分或者反常积分，级数等几乎所有数分概念都是通过极限定义的。南开近几年都有极限的计算题。极限的证明可以从以下几条思路出发：ε-δ定义，cauchy准则，单调有界原则，级数（反常积分）收敛的必要性等。极限的计算可以从以下几条思路出发：等价因子代换，洛必达法则，转化为某函数在某点导数，转化为某函数在某区间上的定积分，转化为某收敛级数的和等。
单变量连续性中连续往往比较简单，实际就是一个极限问题，需要注意的是一致连续（如一直连续的几个充分条件），一致连续的实质是函数图线在任意点都不会无穷陡。单变量微分学中要注意几个微分中值定理（注意与实数完备性的联系），泰勒公式（关键在于选取适当的展开点，阶数以及余项形式），凸函数（几个等价定义）等问题。
单变量积分学中首先要对黎曼可积的条件有深刻认识（用实函知识更能说明问题，即黎曼可积的充要条件是不连续点为零可测集），其次注意积分极限（如黎曼引理的证明就很典型），再就是反常积分的敛散性判别（数项级数类似），我曾经编了个顺口溜（不妨叫它《敛散歌》）：“非无穷小定发散，判阶看界寻优级，达郎贝尔救柯西，莱布尼兹嫁阿狄，级数积分本一家。”（注：阿迪是指阿贝尔判别法和狄里克莱判别法，嫁是加的谐音）。
级数理论包括收敛问题（如反常积分收敛，已述）和一致收敛问题。一致收敛包括函数列一致收敛和函数项级数一致收敛，其判别大相径庭。
一致收敛一般可以寻求优级数（或优函数），一种简便的方法上寻找上界级数，上界级数收敛是函数项级数一致收敛的充分条件。特别地，能取到上界即最大值级数收敛与原级数一致收敛是充要的。
多元连续性较一元连续性复杂，但思路极其类似，一元中有的性质多元中也有对应的性质（如闭区间有界性，最值存在性等）。不同的一点在定义多元连续的多元极限是要在某点的一个多维区域里满足ε-δ定义，因此要特别注意单侧极限存在和极限存在的区别与联系。多元微分学主要有两点，一是偏导数，一是taylor公式。对于偏导的计算，一般用链式法则都可以得到结论，使用链式法则时要注意各元之间的制约关系，最好画个树状图。对于taylor公式，和一元类似，关键要注意展开点、阶数、余项形式，由于这块内容比较复杂，很少有学校直接考，但其思想很有可能被考到。另外，由taylor公式也可得出多元函数的介值性、以及其它中值定理，这和一元异曲同工。多元积分学包括重积分、线积分和面积分三类。这部分内容需要搞清楚各类积分的计算方法以及各类积分的转换关系，弄清楚每一类积分的应用背景可以加深对概念和方法的理解。这部分的题目首先要注意对称性，利用对称性化简问题；其次注意转化，可以利用格林公式、高斯公式或斯托克斯公式等进行必要的转换，从而简便运算；最后要注意变换，一般有极坐标变换、柱坐标变换、球坐标变换等，目的依然是简化计算（或者简化被积函数，或者简化被积域），变换后的区域可以利用边界定限。
总之，数学分析的学习一定要注重思想的培养，有很多思想无论对考试有无用处，我觉得既然要选择继续学习数学就应该掌握。数学分析也有人叫无穷小分析，是建立在实数完备的前提之下衍生出来的一个体系，因此极限思想、实数理论总是起着举足轻重的作用。无论是微分学，还是积分学，或者是级数理论，无不都是一个极限过程，实数完备换个思维也是说实数可以是极限过程。从题目的角度，微分学题目的最本质就是实数完备，如果直接考虑微分理论不好做的时候不妨用实数完备的角度去思考；积分实际是一种很特殊的极限，如果直接考虑积分理论不好做的时候也可以想想积分的定义（达布上下和，一般会用到夹逼思想）；级数同样是一种特别的极限，可以将其视为数列或函数的极限。
四、高等代数的复习。高等代数有以下几个板块：多项式、行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型、λ-矩阵、欧氏空间。多项式部分与初等数学联系比较紧密，需要注意多项式相等、多项式的整除、最大公因式、互素多项式、不可约多项式以及多项式的分解。其中整除和最大公因式比较关键。行列式表示一种特殊的计算方式，关键要搞清楚行列式的计算，一般地有递推降级法、拆分组合法、滚动相消法、加边法、幂级数变换法、逐行（列）相加（减）、利用特征值、利用降级公式、转化为已知行列式（如范德蒙行列式等）。矩阵可以说是高等代数最基本的工具，由于线性变换问题与矩阵问题时对偶问题，二次型问题与矩阵问题也是对偶问题，因此高等代数中很多问题终究可以转化为矩阵问题加以解决。
首先，单纯从矩阵角度需要特别注意的是矩阵几种特殊运算：转置、伴随、逆。转置和伴随都比较简单，而逆这一问题包括可逆判定和逆矩阵求解，可逆判定只需验证行列式是否为零，当然除了直接计算行列式以外，也可以判断是否以零作为其特征值。其次，矩阵乘法规则比较特殊，至于为什么要如此定义，仅仅是因为矩阵这一概念是为了解决先行方程组问题而提出的，若把线性方程组也看成是矩阵方程，那矩阵乘法也就自然地需要用这种不是很好理解的方式定义了（对于矩阵乘法，也有一些其它的定义）。
另外，方便起见，引入了分块矩阵的概念，分块矩阵并无多少特别之处，仅仅是我们耳熟能详的普遍-特殊思想的一个运用罢了。
最后，还有初等矩阵的概念，我们研究问题时，总希望研究对象能够尽可能地简单，初等矩阵则是最简单的矩阵，因此，很多时候我们会试图用这些简单的矩阵来刻画其它复杂的矩阵。
不得不补充的是矩阵的分解，矩阵的分解就是把一个矩阵分解成若干个矩阵的和或者积的形式，顾名思义，矩阵分解一般包括加法分解和乘法分解。矩阵分解的思想是先利用适当方式特殊化，再从特殊入手，最后还原为一般形式。特殊化的思路有等价转换法、相似转换法、合同转换法（仅适用于对称方阵），它们分别把一般矩阵特殊化为等价标准形、jordan标准形、合同标准形。具体的加法分解有：秩1分解，小秩分解，对称反对称分解，对角幂零分解等；乘法分解有：等价分解、相似分解、合同分解、满秩分解、可逆幂零分解、voss分解等。另外一些特殊矩阵有着特殊的分解，如可逆矩阵有qr分解，对陈阵有合同分解，正定阵有幂分解等。
线性方程组是线性代数的主题，也是高等代数个知识点的衔接点，主要包括线性方程组解的判定和解的结构两部分。解的判定只需判断系数矩阵与增广矩阵秩的关系，另外，线性方程组ax=b有解与b可由a的列向量线性表出。解的结构也完全由系数矩阵与增广矩阵的秩相关，此处引入了极大线性无关组的概念，它有三层含义：首先是解，其次相互无关，另外任一组解可由它们线性表出。
线性空间理论包括线性空间概念及其结构。线性空间的定义由公理化体系给出了八条运算规则，因此判定一个集合是否是线性空间也只能逐一验证这八条运算规律。线性空间的结构可以从维数、基、子空间、空间运算等角度去理解，维数刻画了空间的“大小”，基刻画了空间中元素的“形状”，子空间刻画了空间中各个元件的关系，空间运算（交、和、补）则是构造新空间的基本方法。这里需要指出的是，空间运算不像集合运算（交、并、补），这是因为并运算不能保证新集合的完备性，也就是说两空间的并中某些元素进行加法运算后会在并集合之外，而和运算避免了这点，另外和运算也有很多实际原型，并非来的突兀。线性空间的子空间除了保加保数乘以外，还有两个特殊的性质：第一个我把它称作子空间的不完全覆盖性，具体含义是指，任意有限个子空间其并仅仅是原空间的一部分而非整体。例如二维平面空间的任一子空间就是过原点的直线，我们知道任意有限条过原点的直线都无法填满平面。第二个我把它称作补子空间的不唯一性，也就是说任意一个子空间，有一系列空间都可以成为其补子空间。
线性变换是研究线性空间的结构的有力工具，在这块的学习中一定要注意线性空间与矩阵一一对应的关系。首先，线性变换的判定比较简单，只需按部就班地验证即可。其次，我们总是想让线性变换变得简单明了，比较简单的一类是对应矩阵为对角阵的线性变换，这就引发了特征值和特征向量的问题，反过来，特征值和特征向量又对矩阵或者说线性变换的对角化的研究相当重要。这里只是说明矩阵可对角化的一些条件：有互异特征值是可对角化的充分条件，有完备的特征向量是可对角化的充要条件，零化多项式无重根是可对角化的充分条件，特征多项式无重根是可对角化的充要条件，最小多项式无重根是可对角化的充要条件。最后，要指出的是，线性变换的概念引出之后又有了一类特殊的空间，即不变子空间。不变子空间不仅要求是一个子空间，另外必须相对于线性变换来说要不变。常见的不变子空间有特征子空间、值域和核。特征子空间实际是一个其次线性方程组的解空间，这里需要注意一个矩阵的代数重数不会超过其几个重数。值域与核是两个非常重要的不变子空间，不仅要掌握它们各自基与维数的求法，还要理解其实际意义。值域与核对于一些空间分解也很有帮助。
二次型是高等代数中比较特殊的一部分，它源于对曲面变换的研究，也要注意二次型问题与矩阵问题的对偶性。对于对称方阵，我们有了一类特殊的变换，即合同变换。首先，对于具体二次型的正定性的判定，乃至求二次型的正负惯性指数，低阶的可以直接计算，对于高阶的可以求其特征值，进而判断正负特征值的个数。其次，对于抽象二次型正定性的判定，并没有以不变应万变的方法，但一般可以从以下两个思路出发：利用合同变换转化为简单矩阵或者利用二次型特殊性质。另外，一个二次型正定有很多等价条件。最后，需要特别注意二次型的标准形与规范形的求解，其结果与数域相关。
λ-矩阵的研究的根本目的是研究矩阵结构，我们总是希望矩阵能在某种意义下简单化，而矩阵相似理论告诉我们任意一个矩阵在相似关系下都有jordan标准形。λ-矩阵不同于一般的矩阵（数字矩阵）之处在于其元素是 的多项式，仅此而已。首先，jordan标准形的求解是一项基本功，一般是先求特征值，再求对应特征向量，判断jordan标准形的形状，过渡阵的求解有时需要解一个非齐次线性方程组。另外一个解决途径就是求出行列式因子或不变因子，从而得出初等因子，进而确定jordan标准形。其次，对于两矩阵相似的判定，较为灵活，可以先尝试用必要条件（迹或行列式相等）来判断是否不相似，若无法确定则可利用充要条件（行列式因子、不变因子、初等因子或jordan标准形相同）一定可以判定两矩阵是否相似。
欧氏空间较线性空间而言，多了一条运算，这一运算不仅能够更大程度地反映实际问题，同时也引发了一系列新的问题。首先，内积实际上一个满足交换律、线性和正定性的二元函数，而欧氏空间则是定义了内积的线性空间。其次，欧氏空间有一类特殊的基，即标准正交基，标准是指长度为单位长度，正交则是指两两垂直，两两内积为零，判断一组向量是否是标准正交基也只需在保证是基的前提下满足以上两点。至于标准正交基的求法，需要注意任意一组线性无关的向量组都可以扩充为标准正交基（即扩充定理），而扩充的方法则是schimidt正交化法，需要注意的是schimidt正交化法虽然繁琐但它不仅提供了矩阵的qr分解，而且这一思想也相当重要。最后，要说明的是，在欧氏空间中有一类特殊的线性变换，即正交变换。正交变换的特殊之处在于不仅保加保数乘而且保长。要证明一变换是正交变换一般有两条思路：一是证明其保持向量内积不变（保长、保角、保距离都可得），二是证明其在一组基下的矩阵是正交矩阵。另外，正交变换也有第一、二类之分。
总之，高等代数的学习一定要搞清楚各个概念以及它们之间的关系。多项式理论和行列式计算可以说是基本功，而矩阵则是贯穿始终的有力工具，可以用其来研究线性方程组、线性变换、二次型等，这就要能够熟练地将矩阵问题与线性方程组问题、线性变换问题、二次型问题相互转换，至于线性空间以及欧氏空间，需要多从其结构刻画来考虑。
由于水平有限，以上所写不免有欠妥之处，望大家不吝赐教。
