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线性代数附册学习辅导与习题全解(同济大学数学系) |  |
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线性代数附册学习辅导与习题全解(同济大学数学系) | |
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本章先引入矩阵的初等变换、矩阵的等价以及矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形等概念，阐明了矩阵的初等变换与矩阵相乘的关系：对矩阵A作初等行（列）变换，相当于用可逆矩阵左（右）乘A。由此引出用初等变换求逆阵的方法。
矩阵的秩是矩阵的一个最重要的指数，由于它是矩阵在初等变换下的不变量，因此在初等变换的辅助下，矩阵的秩有着十分广泛的应用。对矩阵秩的性质也要有所了解，以增强应用矩阵的秩解决问题的能力。
根据初等变换不改变矩阵的秩的原理，在用初等行变换解线性方程组的过程中，建立起线性方程组的基本定理（即定理3，或分开叙述成定理4和定理5），并把它推广到矩阵方程。线性方程组的理论与求解方法是线性代数课程中最基本、最重要的内容，贯串教材的始终，一定要切实掌握。
本章的重点是：掌握把矩阵化为行最简形的运算以及根据增广矩阵的行最简形熟练地写出线性方程组的通解；理解矩阵秩的概念及线性方程组的基本定理。
问3.1 一个非零矩阵的行最简形与行阶梯形有什么区别和联系？
答首先，行最简形和行阶梯形都是矩阵作初等行变换时的某种意义下的“标准形”。任何一个矩阵总可经有限次初等行变换化为行阶梯形和行最简形。
其次，行最简形是一个行阶梯形，但行阶梯形未必是行最简形。其区别在于前者的非零行的非零首元必须为1，且该元所在列中其他元均为零，因而该元所在列是一个单位坐标列向量；而后者则无上述要求。
问3.2 在求解有关矩阵的问题时，什么时候只需化为行阶梯形，什么时候宜化为行最简形？或者，它们在功能上有什么不同？
答矩阵的初等行变换直接源于求解线性方程组的消元法，它是矩阵的最重要的运算之一，其原因就在于矩阵在初等行变换下的行阶梯形和行最简形有强大的功能，是一个很理想的“操作平台”，在此平台上，可以解决线性代数中的许多问题，择其主要的如表3-1所示。
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