任意倾斜角的科赫雪花
? ? ? ? 直线的倾斜角是任意的，BC是确定线段上的三等分点，也就是B(x3,y3)和C(x4,y4)，这里把原直线忽略了。顶点是A，在科赫雪花的程序中通常就是(x5,y5)。这里作几条辅助线：过B点作一条水平的直线，过C作一条垂直的直线，相交于G，过A点作BC的高，过A点作垂直的直线交BC于F，过D作AF的垂线，垂足为E。为什么要这么作辅助线？因为既然要通过简单的计算得到结果，那充分利用B(x3,y3)和C(x4,y4)只通过加减法就可以得到的数据，比如CG的长度就是y4-y3，BG的长度就是x4-x3；另外就是要考虑顶点的位置，这里可以看到顶点A的坐标可以又D的坐标得出，D的坐标很好算，就是B、C的中点，因此接下来的任务就是通过三角形的关系找出DE和AE的长度。
? ? ? ? 首先容易证明：△BCG∽△AFD∽△DFE
? ? ? ? 得到线段之间的比例关系： BG/GC=AD/DF=DE/EF，得DE=AD*EF/DF （1）
? ? ? ? 此时注意到EF/DF=DF/AF=GC/BC，把EF/DF=GC/BC带入（1）得：DE= AD*GC/BC （2）
? ? ? ? 注意到AD/BC=AD/AB=√3/2，所以（2）就相当于： DE= GC*√3/2
? ? ? ? 而GC=y4-y3，x5=xE=(x3+x4)/2-DE 所以：x5=(x3+x4)/2+(y3-y4) *√3/2 （3）
? ? ? ? 这就是科赫雪花顶点的横坐标公式，适用于任意倾斜角的雪花。如果直线是右倾斜的，那么y3-y4将变成正数，顶点坐标将出现在中点坐标的右方，一样成立。
? ? ? ? 同样我们可以证明y5=(y3+y4)/2+(x4-x3)*√3/2 （4）
? ? ? ? （3）、（4）式的好处在于写科赫雪花程序时无需再考虑倾斜情况，即使起始直线是20°，这个公式也能求出此时雪花顶点的位置，那么程序就简单多了：
import java.applet.*; import java.awt.*; import java.awt.event.*;public class Koch extends Applet implements MouseListener {private int xa,ya,xb,yb,depth,count=0;private double xc,yc;public void init() { setBackground(Color.BLACK); setSize(960, 720); addMouseListener(this) ; depth=1;} public void mouseClicked(MouseEvent e) {} public void mouseEntered(MouseEvent e) {} public void mouseExited(MouseEvent e) {} public void mousePressed(MouseEvent e){}public void mouseReleased(MouseEvent e) {depth++;if(count==0){xa = e.getX();ya = e.getY();count++;depth=0;}else if(count==1){xb = e.getX();yb = e.getY();xc=(xa+xb)/2+(ya-yb)*Math.sqrt (3)/2;yc=(ya+yb)/2+(xb-xa)*Math.sqrt (3)/2;count=1;repaint();}} void draw(double x1,double y1,double x2,double y2,int depth,Graphics g){if(depth<=1){g.drawLine((int)x1, (int)y1, (int)x2, (int)y2);}else{depth--;double x3=x1*2/3 + x2*1/3;double y3=y1*2/3 + y2*1/3;double x4=x1*1/3 + x2*2/3;double y4=y1*1/3 + y2*2/3;double x5=(x3+x4)/2+(y3-y4)*Math.sqrt (3)/2;double y5=(y3+y4)/2+(x4-x3)*Math.sqrt (3)/2;draw(x1,y1,x3,y3,depth,g);draw(x4,y4,x2,y2,depth,g);draw(x3,y3,x5,y5,depth,g);draw(x5,y5,x4,y4,depth,g);}}public void paint(Graphics g){g.setColor(Color.WHITE);draw(xb, yb, xa, ya, depth, g);draw(xa, ya, xc, yc, depth, g);draw(xc, yc, xb, yb, depth, g);}}?
代码说明：
1. 这个程序的设计是点击两次后形成一个正三角形，然后每点击一次会重新找一个顶点，以便于调整三角形的大小来观察科赫雪花的变化，如果不想要让原来的三角形变化那就不要移动鼠标就行了。
2. 程序还可做进一步优化：左键点击深度+1，右键点击深度-1，这个我没写。
3. 这个程序没用面板，用的是applet，不过其实无所谓，核心算法在draw函数里，而且除了x5和y5也没特别厉害的地方，复制参考的话只要把那个函数复制了即可。