Bloom Filter 总结
1 Overview
??? Bloom filter最早由 Burton Howard Bloom提出，是一种用于判断成员是否存在于某个集合中的数据结构。 Bloom filter的判断基于概率论：
如果某个成员存在于集合中，那么Bloom filter不会返回假（即不存在），也就是说false negative是不可能的。如果某个成员实际上不存在于集合中，Bloom filter可能返回真（即存在），这种情况被称为false positive。??? Bloom filter通常被实现为一个包含 m 位的位数组（bit array），所有位的初始值都为0。 Bloom filter支持以下两种类型的操作：
add。将成员添加到Bloom filter中。以该成员为参数调用 k 个索引函数（index functions），得到 k 个位数组的索引值，取值范围是 [0, m)， 然后将位数组的对应位设置为1。query。判断某个成员是否已经添加到Bloom filter中。以该成员为参数调用 k 个索引函数，得到 k 个位数组的索引值，然后根据这些索引值检查位数组：当位数组中所有的对应位均为1时，那么认为该成员已经存在。??? 如果query的结果为真（即positive），那么实际上存在以下两种可能性：
该成员已经被add到集合中，即该成员的确存在。该成员未被add到集合中，但是query过程中检查的所有位均被设置为1（由于添加的其它成员导致）。这种情况被称为false positive。??? 传统的Bloom filter 不支持从集合中删除成员。对于每个添加到Bloom filter中的成员，实际上将其位数组中的 k 位设置为1。尽管将这些位重置为0可以保证从Bloom filter中删除该成员，但是这样做的副作用是可能会影响某些其它成员，因为其它成员也可能被映射到这些被重置为0的位中的一位或者多位， 从而最终导致false negatives。对于Bloom filter而言，false negatives是不被允许的。 Counting Bloom filter由于采用了计数，因此支持remove操作。
??? Bloom filter 使用的 k 个index functions，有时也被称为hash functions，它们通常被假定为彼此独立，返回值在可能的取值范围内均匀分布（这是以下一系列数学证明的基础）。
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2 The Math
??? Bloom filter的基本概念并不复杂，接下来分析一下query操作对某个未被添加的成员返回positive（即false positive）的概率：
??? 假设p是位数组中某一位为1的概率， 那么false positive的概率是 pk 。如果n是已经添加到Bloom filter中的成员个数，那么 p = 1 – (1 – 1/m)nk，经过一系列推导得到 p ≈ （ 1 – e-kn/m ） k ， 当 k = m / n * ln2 时（ln 即 loge ），p为最小值。 例如当k = 8， m/n = 10时， false positive的理论值为0.00846。以下是段计算false positive的实例代码：
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public static double calculateFalsePositiveProbability(int k, int m, int n) {return Math.pow((1 - Math.exp(-k * (double) n / (double) m)), k);}?
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???? 对于某些应用而言，false positive的概率已经是一个足够好的判断Bloom filter准确性的指标，Peter C.Dillinger 和 Panagiotis Manolios 在其Bloom Filters in Probablistic Verfification的论文中指出，对于query过程中的不确定性， state omission 是一个更合适的指标。建议感兴趣的读者阅读该论文，顺便也可以复习一下相关的数学知识。
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3 Refinement
??? So far, so good。 跟普通的HashMap相比， Bloom filter不需要在内存中保存key和value， 而是位数组中的若干个位即可，这在内存使用上是个巨大的节省，当然前提是能容忍一定概率的false positives。但是传统的Bloom filter存在以下两个严重的缺陷：
为了保证足够低的false positive概率，通常索引函数的个数 k 比较大（例如十几甚至几十，但通常不超过32）。 能找到这么多个random，uniform and independent的索引函数并不是一件容易的事情。数量众多的索引函数，导致add和query的性能不高。??? Peter C.Dillinger 和 Panagiotis Manolios在其论文中指出，fingerprinting Bloom filter可以有效地减少索引函数的个数，并且对准确性的影响可以小到忽略。这对于传统的Bloom filter来说，是个重大的改进。笔者使用了其中介绍的triple hashing，认为效果比较明显。
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4 Implementation
??? 如果Google以Java实现的Bloom filter， java-bloomfilter 可能是最容易找到的实现之一。它采用的是传统的Bloom filter算法：使用的 k 个索引函数（默认都是MD5），只是索引函数在进行计算时对参数的加盐（salting）不同而已。笔者认为 java-bloomfilter 的性能可能有待提升。
??? Hadoop common的util包中也提供了一个Bloom Filter的实现，此外其hash包还提供了JenkinsHash 和 MurmurHash 两个Hash算法。笔者感觉Hadoop 的Bloom filter的实现方式类似fingerprinting Bloom filter，但是没有使用double hashing 或者tripple hashing。
??? 此外关于位数组的实现方式，可能最直接想法的是使用java.util.BitSet。不过笔者认为如果处理的数据量很大、或者性能要求比较高，那么不建议使用java.util.BitSet， 因为java.util.BitSet的内存使用方式、总体性能都不是很理想。
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5 Reference