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使用循环座标下降(CCD)算法解算反向运动学(IK)

2013-11-02 
使用循环坐标下降(CCD)算法解算反向运动学(IK)使用循环坐标下降(CCD)算法解算反向运动学(IK)周五的时间总

使用循环坐标下降(CCD)算法解算反向运动学(IK)

使用循环坐标下降(CCD)算法解算反向运动学(IK)

 

       周五的时间总是美好的,今天也将自己制作的演示程序收官了。这篇文章是上一篇文章的继续,向大家介绍一下如何使用循环坐标下降(cyclic coordinatedecent,CCD)算法来求解反向运动学问题。

       注意到了没有?我们要解决的问题属于刚体运动学范畴,所以一切涉及到形变的因素都不用考虑,因此我们既可以使用四元数和一个向量表示骨骼的位置和平移,也可以将两者结合起来使用一个矩阵表示骨骼的所有变换。学过计算机图形学的同学都知道,旋转分量和平移分量是互不影响的,所以可以简单地分别将旋转和平移叠加来表示累次旋转和累次平移。

原创文章,反对未声明的引用。原博客地址:http://blog.csdn.net/gamesdev/article/details/14047265

       首先让我们看一下同样的场景,当使用反向运动学和不使用反向运动学时的差别:

这是使用了反向运动学的

使用循环座标下降(CCD)算法解算反向运动学(IK)

这是未使用反向运动学的,可见初音ミク的腿无法弯曲。

使用循环座标下降(CCD)算法解算反向运动学(IK)

       了解了反向运动学的效果之后,我们再看如何用CCD算法来实现反向运动学。

       首先让我们来处理最简单的情况:只有两根骨骼、两个关节,这样的情况非常好处理,设原点为origin、目标点为target,用A.relativePos表示A相对于它的父骨骼(也就是origin)的位置,A.finalPos表示A相对于世界坐标系的位置, 如果是正向运动学,那么有:

target.finalPos = origin.finalPos + orgin.rotation * target.relativePos

       现在反过来,已知target.finalPos和 origin.finalPos,显而易见,有:

origin.finalPos = target.finalPos – origin.rotation-1 *target.relativePos

解方程,求出origin.rotation即可。

       下面来看一下三根骨骼、三个关节的问题怎么求。这种情况多见于人类的手臂部分和腿部分,求解的方法,老实说有两种——使用余弦定理和一般迭代方法。下面我就讲讲使用这两种方式的感受。

       使用余弦定理求解见于《Character AnimationWith Direct3D》这本书,余弦定理的公式是C2 =A2+B2-2ABcos(∠C),拿胳膊打比方,当你的胳膊从自然伸直转向弯曲的时候,肘部与肩膀和手掌形成的夹角在缩小。我们拿两个关键帧s和t来进行对比,首先我们知道s帧时手臂的所有位置和方位,这个时候我们可以使用向量点击求出肘部形成的夹角α,其次我们知道t帧时肩膀和手掌的位置,我们需要求出肘部的位置,这时我们可以利用余弦定理,已知两条边长(上臂低位的长度和高位的长度)以及另一条边长(可由手掌的坐标减去肩膀的位置求模得到)以及两个顶点的位置,求出第三个顶点与两个顶点形成的角度β。我们可以计算出δ=β-α。然后根据叉积公式求出旋转轴,将手掌绕着这个旋转轴反向旋转δ就可以近似地到达关键帧t中肘部的位置了。

       可是余弦定理只能处理三根骨骼、三个关节的问题,如果是多跟骨骼、多个关节(例如蜈蚣那样),由于概念上的缺陷而无法处理。

       一般的迭代方法是这么处理的:

1、从末端关节连接的父关节A开始,计算末端关节与目标末端关节位置与该关节形成的夹角,旋转之;

2、如果旋转后的末端关节未达到目标,则以A的父关节开始重复步骤1;

3、如果到达根关节仍未将末端关节达到目标,则结束一次迭代,重复步骤1、2,进入下一次迭代。

       使用迭代的方法是一种传统的解决IK问题的方法,目前出现了几种改进的方法,都是以这种方法为基本,分析其缺陷并加以改进而成的。

       下面是一张演示程序截图,其中初音ミク模型的蓝色骨骼部分是属于正向运动学的,而黄色部分,也就是长发、腿部、脚部和领带则属于反向运动学,受反向运动学影响的骨骼,都受控制端(以同心方块作为标识)的影响。

使用循环座标下降(CCD)算法解算反向运动学(IK)

       下面是其中的一帧截图,我们发现,角色的腿部和头发部分受到反向运动学的影响而发生弯曲。

使用循环座标下降(CCD)算法解算反向运动学(IK)

       下面是使用一般迭代方法处理反向运动学的部分源代码:

/*---------------------------------------------------------------------------*/void MMDRenderHandler::CalculateInverseKinematics( void )// 计算反向运动学{    // 遍历每个IK    foreach ( const IK& _IK, m_IKs )    {        Bone& destBone = m_Bones[_IK.destIndex];        // 一般是IK骨骼        Bone& targetBone = m_Bones[_IK.targetIndex];    // 一般是与IK一端连接的骨骼        for ( int i = 0; i < _IK.iteration; ++i )        {            for ( int j = 0; j < _IK.bones.size( ); ++j )            {                quint16 index = _IK.bones[j];                Bone& joint = m_Bones[index];                CCDIKSolve( joint,                            targetBone,                            destBone,                            _IK.limitAngle,                            i );                CalculateBonesFinalPos( index );            }            if ( qFuzzyIsNull( ( targetBone.finalPos -                                 destBone.finalPos ).SquareLength( ) ) )            {                break;// 目的达到了,结束迭代            }        }    }}/*---------------------------------------------------------------------------*/void MMDRenderHandler::CCDIKSolve( Bone& joint, // 想象成肘部                                   Bone& target, // 目标位置                                   Bone& end, // 末端效应器                                   float limitAngle,// 单位限制角度                                   int iterNum )// 迭代次数{      // 使用循环坐标下降算法(cyclic coordinate decent,CCD)    // 计算在绝对旋转后的连接点和目标位置以及末端效应器的相对位置    Vector3F absJoint2End = end.finalPos - joint.finalPos;    Vector3F absJoint2Target = target.finalPos - joint.finalPos;    Quaternion invRotation = joint.absRotation.Conjugate( );// 求出四元数的共轭四元数    // 转为本地坐标系(平移因素在第一阶段已剔除)    Vector3F localJoint2End = invRotation.RotatedVector( absJoint2End );    Vector3F localJoint2Target = invRotation.RotatedVector( absJoint2Target );    // 计算应该旋转的角度    float deltaAngle = acosf( Vector3F::DotProduct(                                  localJoint2End.Normalized( ),                                  localJoint2Target.Normalized( ) ) );    if ( std::isnan( deltaAngle ) ||         qFuzzyIsNull( deltaAngle ) )// 角度计算出错或角度太小(一般是向量太接近)    {        return;// 不处理,直接返回    }    // 限制角度为[-limitAngle, limitAngle]    deltaAngle = qBound( -limitAngle, deltaAngle, limitAngle );    // 求出旋转轴    Vector3F rotateAxis = Vector3F::CrossProduct( localJoint2Target,                                                  localJoint2End );    // 构造旋转四元数    Quaternion deltaRotation = Quaternion::FromRotation(                rotateAxis, deltaAngle );    joint.rotation *= deltaRotation;    joint.absRotation = m_Bones[joint.parent].absRotation * joint.rotation;}/*---------------------------------------------------------------------------*/

       演示程序下载地址:这里

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