输出100000之内的素数

输出100000以内的素数

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#include <fstream.h>#define N  100000int sieve[N + 1];void main(){ for(int i = 2; i <= N; i++) sieve[i] = 1; for(i = 2; i <= N / 2; i++) sieve[i * 2] = 0;  int p = 2; while(p * p <= N) {  p = p + 1;  while(sieve[p] == 0)   p++;  int t = p * p;  int s = 2 * p;  while(t <= N)  {   sieve[t] = 0;   t = t + s;  } } ofstream outfile("s.txt",ios::out); for(i = 2; i <= N; i++)  if(sieve[i] != 0) outfile<<i<<",";  }

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[转]http://www.cppblog.com/percyph/archive/2009/05/14/82963.html

质数的定义

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。

在上文 《素数算法大全，及C程序实现优化详解 (一) 试除法》中我们已经探讨了求解素数的一类算法，并且将试除法从最初的低效版本优化的高效的V2。那么，还有没有其它更佳算法呢？这就是下面三藏要和大家探讨的内容

合数过滤筛选法

算法描述：我们知道，素数N不能被2~(N-1)间的任何数整除；反过来看，只要能被2~(N-1)间的任何数整除的N，都不是素数。所以我们可以采用一个简单的排除法：就是对N以内的所有数，只要逐个去除值为2~(N-1)的倍数的数，剩下的就是素数。

C语言实现

// 合数过滤筛选法 Ver1 // 参数：n 求解n以内(包括n)的素数// 返回值：n以内素数个数 int CompositeNumFilterV1(int n){?int i, j;?// 素数数量统计 ?int count = 0;?// 分配素数标记空间，结合后文思考为何+1?char* flag = (char*)malloc( n+1 ); ??// 初始化素数标记 ?for (i=2; i<=n; i++)?{??// 为什么*(p+i)要写成flag[i]呢？可读性更佳尔 ??flag[i] = 1;?}??// 写程序要注意排版和留空，方便阅读，也可减少出错几率?// 以2~(N-1)为因子过滤合数 ?for (i=2; i < n; i++)?{??for (j=2; i*j <= n; j++)??{???// i*j是由i,j两整数相乘而得，显然不是素数???flag[i*j] = 0;??}?}??// 统计素数个数?for (i=2; i<=n; i++)?{??// 其实if(flag)就其同样作用了，但这么写是有留言的 ??// 请参阅《C语言程序设计常见错误剖析及解决之道》一文 ??if (1 == flag[i]) count++;?}???// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略? ?// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏 ?free(flag);??return count;} 

在上文给出的main函数中以不同参数调用CompositeNumFilterV1函数，得到执行结果如下：

[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：15毫秒
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：125毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：2578毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：6281毫秒

注：因程序是非独占性运行的，所以时间不是完全精确的，但基本能反映实情

显然，比上文中的试除法要快，而且谁都可以看到上例是一个未经优化的粗陋版本，好多地方是三藏故意采用比较低效做法，为了与后文的优化版比较，凸显优化之重要，也为了初学者记住别采用类似低效做法，下面我们开始优化之旅

优化分析

上面CompositeNumFilterV1函数存在的问题有：

在外层循环，需要一直执行到n-1吗？不要，因为n/2~n-1间的数显然不能整出n 在内层循环中重复使用i*j显然是低效的，考虑到计算机中加减运算速度比乘除快，可以考虑变乘法为加法 在循环修改flag过程中，其实有很多数会被重复计算若干次，比如6=2*3=3*2，会被重复置0，类似操作很多，所以我们得设法避免或减少flag重复置0

据上述分析，我们可将程序优化如下：

// 合数过滤筛选法 Ver2 // 参数：n 求解n以内(包括n)的素数// 返回值：n以内素数个数 int CompositeNumFilterV2(int n){?int i, j;?// 素数数量统计 ?int count = 0;?// 分配素数标记空间，明白+1原因了吧，因为浪费了一个flag[0]?char* flag = (char*)malloc( n+1 ); ??// 初始化素数标记，要高效点咯?flag[2] = 1;?// 注意是i<n不是上例中的i<=n了，理由自思 ?for (i=3; i<n; i++)?{??flag[i++] = 1;??// 偶数自然不是素数，直接置0好了 ??flag[i] = 0;?}?// n为奇数 ?if (n%2 != 0)?{??flag[n] = 1;?}??// 从3开始filter，因为2的倍数早在初始化时代就干掉了?// 到n/2止的理由还要说吗 ?for (i=3; i <= n/2; i++)?{??// i是合数，请歇着吧，因为您的工作早有您的质因子代劳了 ??if (0 == flag[i]) continue;????// 从i的2倍开始过滤，变乘法为加法? ??for (j=i+i; j <= n; j+=i)??{???flag[j] = 0;??}?}??// 统计素数个数?for (i=2; i<=n; i++)?{??if (flag[i]) count++;?}???// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略? ?// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏 ?free(flag);??return count;} 

再来调用CompositeNumFilterV2得到执行结果：

[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：n太小，时间精度不够
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：31毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：453毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：1062毫秒
[100000000]以内素数个数：5761455, 计算用时：12973毫秒

哇哇，比昨天的试除发快了好多倍，可见算法的威力，值得好好学习，别说学算法没用咯。

上例着那个计算一亿以内的素数只要约13秒，应该算不错了，今天是否可以休息了呢？No，我们要追求极限！

int CompositeNumFilterV3(int n){?int i, j;?// 素数数量统计 ?int count = 0;?// 分配素数标记空间，明白+1原因了吧，因为浪费了一个flag[0]?char* flag = (char*)malloc( n+1 );?// 干嘛用的，请仔细研究下文?int mpLen = 2*3*5*7*11*13;?char magicPattern[mpLen];?// 奇怪的代码，why，思考无法代劳，想！ ?for (i=0; i<mpLen; i++)?{??magicPattern[i++] = 1;??magicPattern[i++] = 0;??magicPattern[i++] = 0;??magicPattern[i++] = 0;??magicPattern[i++] = 1;??magicPattern[i] = 0;?}?for (i=4; i<=mpLen; i+=5)??magicPattern[i] = 0;?for (i=6; i<=mpLen; i+=7)??magicPattern[i] = 0;?for (i=10; i<=mpLen; i+=11)??magicPattern[i] = 0;?for (i=12; i<=mpLen; i+=13)??magicPattern[i] = 0;??// 新的初始化方法,将2,3,5,7,11,13的倍数全干掉?// 而且采用memcpy以mpLen长的magicPattern来批量处理 ?int remainder = n%mpLen;?char* p = flag+1;?char* pstop = p+n-remainder;?while (p < pstop)?{??memcpy(p, magicPattern, mpLen);??p += mpLen;?}?if (remainder > 0)?{??memcpy(p, magicPattern, remainder);?}?flag[2] = 1;?flag[3] = 1;?flag[5] = 1;?flag[7] = 1;?flag[11] = 1;?flag[13] = 1;??// 从17开始filter，因为2,3,5,7,11,13的倍数早被kill了 ?// 到n/13止的，哈哈，少了好多吧?int stop = n/13;?for (i=17; i <= stop; i++)?{??// i是合数，请歇着吧，因为您的工作早有您的质因子代劳了 ??if (0 == flag[i]) continue;????// 从i的17倍开始过滤??int step = i*2;??for (j=i*17; j <= n; j+=step)??{???flag[j] = 0;??}?}??// 统计素数个数?for (i=2; i<=n; i++)?{??if (flag[i]) count++;?}???// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略? ?// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏 ?free(flag);??return count;}

再看CompositeNumFilterV3执行结果：

[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：15毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：203毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：515毫秒
[100000000]以内素数个数：5761455, 计算用时：6421毫秒

再次优化后速度提升了又一倍左右，三藏不禁有点满足了，睡觉也！