利用泰勒公式求极限的问题
利用泰勒公式求下列极限：
(1)lim(x->+∞)((x^3+3x^2)^(1/3)—(x^4-2x^3)^(1/4))
(2)lim(x->0)[cosx-e^(-x^2/2)]/[x^2(x+ln(1-x)]
(3) lim[(x->0)[1+x^2/2-(1+x^2)^(1/2)]/{[(cosx-e^(x^2))]sinx^2}
主要是没有做过这种类型的题目，不知如何着手，三道题的答案分别是3/2,1/6,-1/12,希望给一个示范
[解决办法]
这跟数值分析没关系吧？纯粹的微积分
根据taylor公式，一个函数f(x)可以用其各阶导数展开，f(a+x) =f(a) + f'(a) + f''(a)x^2/2 + f'''(a)x^3/6 +....
(1) lim(x- >+∞)((x^3+3x^2)^(1/3)—(x^4-2x^3)^(1/4))
把上面式子提取出x
((x^3+3x^2)^(1/3)—(x^4-2x^3)^(1/4)) ＝ [(1+3/x)^(1/3)-(1-2/x)^(1/4)]x
令y=1/x带入，上式变成F(y) = ((1+3y)^(1/3)-(1-2y)^(1/4)]/y ，原来极限变成lim(y->0)F(y)
注意：做这个变换的目的是，Taylor无法在无穷大处展开
我们考虑(1+ay)^p的taylor展开g(y)=(1+ay)^p g'(y)=ap(1+ay)^(p-1), g''(y) = a^2p(p-1)(1+ay)^(p-2) g(0) = 1, g'(0)= ap, g''(0) = a^2p(p-1)
所以g(y) = 1 + apy + a^2p(p-1)y^2/2 高级部分对于y->0可以忽略
带入上面式子：
lim(y->0)F(y)=[1+3*(1/4)y+3*3*(1/4)(1/4-1)y^2 - 1 - (-2)*(1/3)y - ky^2]/y
最后一项y^2项的系数我没有计算是因为如果y项系数不为0时，y^2可以忽略，如果y项为0，极限必然为0
因此上述极限为3*(1/4) - (-2)*(1/3) = 3/4 +2/3 = 17/12
结果和答案不同，但是大致计算步骤如此，楼主再验算一下
(2) lim(x- >0)[cosx-e^(-x^2/2)]/[x^2(x+ln(1-x)]
根据taylor公式我们可以得到cos(x) = 1-x^2/2+x^4/24+O(x^6) , e^(-x^2/2) = 1-x^2/2+x^4/4+O(x^6) ln(1-x) = -x-x^2/2+O(x3)
带入后得到F(x) = [cosx-e^(-x^2/2)]/[x^2(x+ln(1-x)] = [(1-x^2/2+x^4/24-1+x^2/2-x^4/4)+O(x^4) ]/x^2(x-x-x^2/2+O(x3))
= (-5/24)x^4/(-x^4) = 5/24
不知道为什么总和你答案不一样，应该时系数计算不对，你用taylor公式再按照我的步骤展开一下
底下一题计算一样
(3) lim[(x- >0)[1+x^2/2-(1+x^2)^(1/2)]/{[(cosx-e^(x^2))]sinx^2}
