近年来出现的概率类问题的一个总结（一）——傻子上飞机周末无聊，随便写点东西，基本都是原创，如果想参加公司面
近年来出现的概率类问题的一个总结（一）——傻子上飞机
周末无聊，随便写点东西，基本都是原创，如果想参加公司面试不妨看看，这里所选的问题都是一些近年版内比较热点却无统一定论的题，当然，这个“无统一定论”并不是问题本身无定论，而是在表述和理解上出现了偏差，在此我力求以最简洁的语言来表述。
一、傻子上飞机
原题：100个人上飞机，其中第一个人是个傻子，他上飞机后随便做了个位置，后面的人上飞机时，如果位置没被占，就坐自己的位置，否则也随便上个位置。求最后一人上飞机的时候坐在自己位置上的概率。
评论：曾经喧嚣一时，最后大多数人都认可了1/2这个答案，但给出的过程却比较繁琐，大多使用“递归”的思想，不易消化，在此我给出三种方法，供大家拍砖。
1、强归纳法＋全概公式
用P(Bn)表示在有n个人上飞机的情况下最后一人坐在自己位置上的概率，用Ai表示事件傻子上来后坐到了第i个人的位置上
（1）p(Bn-i＋1)=p(Bn|Ai)。2<i<n;
这个结论有着很通俗的解释，就是傻子如果坐到了第i个人位置上，那么第i个人就成了新的傻子，问题退化成在n-i+1时求解，OK，分析到这就OVER了，该公式登场了：
（2）P(Bn)=sigma(p(Ai)*p(Bn|Ai))
大名鼎鼎的全概公式，下面是归纳法
（3）n=2时成立，结论显然
假设n=2到k时结论均成立（强归纳）
证明n=k+1时成立：
p(Ai)恒为1/n;
i=1时，p(Bn|A1)=1,i=k+1时，p(Bn|An)=0,其余各项p(Bn|Ai)由强归纳给出1/2
n个数，第一个数是1,第n个数是0，其余数都是1/2，算术平均是多少不用我算了吧。
2、设A是所有上飞机的不同序列的集合，B={Xn}为最后一人坐在自己位置上的序列集合,C={Yn}为最后一人不坐在自己位置上的序列集合
证明：存在1-1映射f：B->C,满足p(f(x))=p(x)
B交C＝空，B并C＝A；
任取一元素Xi属于B,Xi中一定存在上飞机时“需要选择座位”的人，由Xi的有限性和最小自然数原理，在Xi中，存在“最后一个需要选择座位”的人，不妨设此人编号为k。
考察C中的一个序列Yi,满足：
(1),Yi和Xi的前k-1个人上飞机次序相同
(2),Yi中第k个人直接坐到最后一人的位置上
易见p(Xi)=p(Yi),且f可逆，命题得证
3、这就比较复杂了，用到的东西比较多，先给个结论：
若有N个人上飞机,则第k个人坐在自己座位上的概率p(k)为:
p(k)=1/N,k=1;
p(k)=(N-k+1)/(N-k+2),k=2..N;
易见k=N时，p=1/2及为原命题
顶的高的话，我来解释这个结论是怎么来的，希望大家支持!
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顶起来
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牛人 ，我顶你
等你解释
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谢谢LZ
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我白痴一下啊：
最后一个人上飞机了，就剩下一个位子，那么这个位子要么是他的要么是不他的。就这俩种情况，我感觉应该没有n/m 是，m-n/m 不是 这种情况吧
我很不专业啊？呵呵
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支持一下
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看出来，LZ的数学思维果然不是一般的盖的
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好东西
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支持一下
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支持
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支持！关注此结论的解释。呵呵。谢谢分享！：）
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1/2
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有没有概率论的普及型读物啊？愿拜读一下！不知有谁知道？
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记号下。
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[解决办法][解决办法]mark,支持
[解决办法][解决办法]学习``
等待楼主继续`
[解决办法]!markit!
[解决办法]这个以前算过，５０%
[解决办法]http://bbs.gupzs.com/Spread-2829.htm
[解决办法]总是感觉分析的还不是 很透彻！
[解决办法]学习ing~
[解决办法]我一个都没有看懂，郁闷！
[解决办法]看了分析也不太明白，飞机上的座位数是固定的吗？如果也是100个的话，那么最后一个人上飞机时，只剩下了一个座位，那么只存在两种可能，要么这个座位是他的，要么不是他的，那就是50%的概率了。可是如果飞机上的座位小于或者大于100的时候，就不知道该怎么分析了~
[解决办法]日了...看不懂....
先收藏...
[解决办法][解决办法][解决办法]mark
[解决办法]第三个想法是不是用 补集 ？
每个人都会在 他的位置没人做的时候去做应该做的，
哪么我们算他的做正确的概率 时候只要把所有 他的位置被人占了的概率 再被1 减就是了
每个人位置被占的概率 是
第一个人占 他位置 1/100
第二个人占 要第一个人占了2的位置 且 2占他的位置 是 1/100* (1/99)
第三个人占 要两部分了 a 第一个人占了3 的位置 1/100 b 第二个人占了 3个位置 1/100* (1/99)
。。。。。
类推下 每次都是 之前概率的和
算不下去了，无视我吧
[解决办法]MARK
[解决办法]顶起来
我要看方法3
[解决办法]何必这么复杂？还不如让萨士比亚回答。
[解决办法]恩 支持一下 这个问题挺有意思的
[解决办法]55555讨厌数学
[解决办法]要回去复习概率了。。。
[解决办法]我顶~
[解决办法]http://www.dullwolf.cn/chess/
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up
[解决办法]楼主所做的一切计算都是基于一个隐含条件：100人上飞机且飞机只有100个座位。倘若不是基础此条件，得出的结论明显是错误的。
在基于上叙条件的情况下，这个题目已经变得过于简单。
我在此对此题做一个扩展，若变成N人上飞机，飞机上有M个座位，那么答案又是多少呢？[1<N<=M].
得出的答案是（M-N+1）/（M-N+2）。
结果也很容易证明。不过先不证。
[解决办法]楼主的证明样式繁多，看似很强大，其实只是把简单问题复杂化。怎么求不规则容器的容积？装满水量一下就行了。
[解决办法]顶
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[解决办法]支持！
[解决办法]看lz解释：
[解决办法]mark
[解决办法]mark2
呵呵，有意思的问题；
去思考哈
[解决办法]顶，牛啊！！
[解决办法]路过
[解决办法]起来。。。
[解决办法]有一种方式,就是计算机模拟,我想,结果可能不一定靠近1/2.当然这个是我直观的猜想.
[解决办法]好难，基本没看懂~~~~~~~~~~~~````
[解决办法]顶一下啦.
原题：100个人上飞机，其中第一个人是个傻子，他上飞机后随便做了个位置，后面的人上飞机时
如果傻子正好坐在自己的位置或者做在机长的位置呢?
哈哈
[解决办法] 曾经很喜欢数学，好久没动过了，现在来看看大家的算法心情还是比较愉快.
大脑是要算法经常来疏通疏通的
[解决办法]傻人有傻福，争取做新时代的傻子！
[解决办法]再次学习
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[解决办法]首先，可以确定一点，当某人(不包括最后一个人)坐上傻子位置的时候，最后一个人肯定可以坐上自己位置。
傻子坐上自己位置的概率是1/n=(n-1)/(n*(n-1))
第二个人坐上傻子位置的概率是((n-2)/n)*(1/(n-1))=(n-2)/(n*(n-1))
第三个人((n-2)/n)*((n-3)/(n-1))*(1/(n-2))=(n-3)/(n*(n-1))
第四个人((n-2)/n)*((n-3)/(n-1))*((n-4)/(n-2))*(1/(n-3))=(n-4)/(n*(n-1))
.
.
.
第n-1个人(n-n+1)/(n*(n-1))
把所有情况相加(1+2+3+...n-1)/(n*(n-1))=1/2
[解决办法]50%一种是坐到正确位置,一种是没坐到.
[解决办法]虽然看不懂还是看了~有兴趣学！！
[解决办法]study
[解决办法][解决办法]应该是和其他人做到傻子的位置的概率一样的吧
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支持一下
[解决办法]顶下！ 虽说我看得一头雾水。
[解决办法][解决办法][解决办法]看来又看，想了又想，哎！还是决定顶一下吧！
[解决办法]看不太明白,simaga是方法?
[解决办法][解决办法]看到oo才知道
原来帐号可以这么短的。。。
[解决办法]咳，三种证法一个都看不懂~~~
[解决办法]MARK
[解决办法][解决办法]MARK
[解决办法]INTEREST
[解决办法]YOUYISI
[解决办法][解决办法]我觉得应该用反向推算法,假设总数不是100人
假设2个人,概率1/2毫无疑问
假设3个人,第一个傻子坐对的可能1/3,后面就不存在问题了,也就是概率1/3到手,那么剩下2/3的可能坐错,有1/3可能坐到最后一人位子,也就是还有1/3概率未定,以后归向2人概率1/3*1/2=1/6,这时候就是3人的时候1/3+1/6=1/2概率
假设4个人:1/4+(1-1/4-1/4)*1/2=2/4=1/2
假设5个人:1/5+(1-1/5-1/5)*1/2=1/2
..........
假设100人:1/100+(1-1/100-1/100)*1/2=1/2概率
继续推也同上,一直都是1/2概率
我是这么算的,楼主的理论忒专业,符号也多
老朽我离开学校太久了,看不懂.....
[解决办法]其实这道题还是挺简单的。
1、先大概算几个数，比如2个人，3个人，4个人的情况，发现都是1/2。然后就把问题丢给数学归纳法而已。再大学时代的离散数学课程中，我是数归的忠实拥趸。因为实在太好用了！
2、如果n-1个人时是1/2，则推n个人的概率。
1）傻子坐了第二个人的座位，概率为1/n。这时，将第二个人和傻子的座位配成一对儿，则本质上第二个人就成了傻子，尽管很无辜吧。所以这个时候最后一个人坐对的概率为1/n*1/2;
2) 如果傻子没做第二个人的座位,概率是n-1/n.则第二个人理所应当的坐自己的座位,则第二个人本质上没参与整个概率行为,可以看作是只有n-1个人的行为,这时最后一个人坐对的概率为n-1/n * 1/2.
3）两种情况相加很容易得出结论：如果n-1的时候是1/2，n的时候依然是1/2。归纳完毕。
10楼的兄弟很有意思，应该是中学时没上过概率课吧（因为大学时代即使上课也未必听课）。这其实是很多人对概率学的误解。听过太多学文的兄弟姐妹类似的言论了，他们对概率的理解就是“土鳖不土鳖，这是个问题？”（选自哈姆雷特）
最后，数归万岁！尽管不是万能的。
[解决办法]看看
[解决办法]怪经典的
[解决办法]楼主没有说飞机上有多少个座位，是不是默认是100个了？
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mark
[解决办法]markit
[解决办法]顶
[解决办法][解决办法][解决办法]BS一遍即可，没有必要帮这种自己不想学习的人
又是作业，我在某书上看到过，是课后习题。
[解决办法]第一个就不会。
[解决办法]真复杂
只会递归
[解决办法]好东西，别沉了，顶
[解决办法]先顶下再说~
[解决办法]
