【摘要】秩在线性代数中用在矩阵和向量组上，我们也可以将秩视为对矩阵和向量组排序的一种指标。下面为大家讲解矩阵的秩的相关知识。
什么是矩阵？矩阵即由m乘n个实数排列而成的m行n列的数表。
有人说，要想真正认识一座山，除了要亲自爬一下这座山，还要爬其它的山。这是有道理的：前者让人有亲身经验，后者使人有所参照。生活和学习中的很多道理是相通的。要透彻理解一个概念，不仅需要深入理解其定义，而且需要将其与其它概念作比较，以辨明区别与联系。
下面，我们就把矩阵与行列式做一个比较：
上表提到了子式，那什么是子式？子式即矩阵任取i行i列交叉位置的元素所构成的行列式。为什么叫子式？子即孩子，因为它由矩阵产生的，是矩阵的孩子；式即行列式。这里的子式是相对矩阵而言的，行列式有没有子式呢？
因为行列式中的元素是按方阵形式排列的，是可以按照矩阵找子式的方式找出子式的。但这只是矩阵找子式的方式，行列式有自己找子式的方式。也即行列式也有子式，不过子式的找法与矩阵不同。如何找，找出来是什么样子？我们看下面两个概念：
1、余子式
顾名思义：余下的子行列式。仍有疑问：余下的，怎么余下的？子式是“由行列式产生的行列式”吗？后面问题回答是肯定的。对于第一个问题，看一下余子式的完整定义就可以了：行列式中元素aij对应的余子式为在行列式中划掉aij所在行和列后构成的低一阶的行列式。
所以我们发现：余下的含义是划掉了一行一列而剩下。并且还发现余子式是只能是低一阶的行列式，不能低两阶或低多阶，也不能是同阶。
2、代数余子式
代数作为修饰语的含义是“带符号”(或加正负号)。如定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和。所以代数余子式即带符号的余子式。这里又产生了一个问题：符号的正负是如何确定的呢？这是由划掉的行数和列数决定的，或者说由元素aij所在的位置决定的，即-1的i+j次幂。
通过一番讨论，我们搞清了子式的概念。那对于这样一个1乘3矩阵：(120)，你能找出它的所有的子式吗？不难发现它的子式共有三个：1，2，0。这说明：一个矩阵的子式可能有多个。而我们关注的是那些非零的子式(注意到子式是行列式，而行列式的值是可以算出来的)。此处非零的子式有：1，2。
现在我们再完成一项工作，胜利就在眼前了。在这些非零的子式里，我们挑出阶数最高的。此处两个非零子式都是一阶的，最高阶数当然是1。这个最高阶数不是别的，就是原矩阵的秩。所以矩阵(120)的秩为1。是不是有“众里寻他千百度，那秩却在灯火阑珊处”的感觉？
对于一个一般的m乘n矩阵，我们也可以按照上面的三个步骤找出它的秩：找出它的所有子式；在这些子式里面找出非零的；挑出非零子式中阶数最高的，这个最高阶数就是矩阵的秩。下面再看矩阵的秩的定义，就会觉得它不那么难理解了。矩阵的秩即矩阵中非零子式的最高阶数。
下面我们继续挖掘矩阵的秩的内涵。
一个矩阵的秩为2意味着什么？按照矩阵的秩的定义，我们可以得到该矩阵中非零子式的最高阶数为2。可以这么翻译：该矩阵中存在2阶非零子式，且不存在3阶非零子式。
前半句话怎么理解？或者反过来理解：试想，如果若这半句话不成立，即矩阵中不存在2阶非零子式，那矩阵中非零子式的最高阶数就不可能为2了(应小于或等于1)，这与已知条件矛盾。那么，根据前面的分析，这半句话等价于矩阵的秩大于等于2。类似的讨论可以对后半句话进行。不难得到这半句话等价于矩阵的小于等于2。
这里有两个问题：矩阵不存在3阶非零子式有几种情况呢？不难发现有两种：(1)矩阵没有3阶子式(跟别谈3阶非零子式了，如一个2乘2的矩阵)；(2)矩阵有3阶子式，但3阶子式全为零。另一个问题，如果矩阵不存在3阶非零子式，那么有可能存在4阶及以上阶的非零子式吗？如果你对行列式的展开定理比较熟悉，应该不难得出答案。
推广一下，我们就得到了一般情况：矩阵的秩为k等价于矩阵中非零子式的最高阶数为k，也等价于矩阵中存在k阶非零子式，且不存在k+1阶非零子式。
还有两个特殊情况需要我们注意：
矩阵的秩为1等价于矩阵中存在1阶非零子式，且不存在2阶非零子式。思考：什么是1阶子式？不就是矩阵的元素吗？那么1阶非零子式就是非零元素了。进一步，矩阵中存在1阶非零子式也即矩阵中存在非零元素。这有说明了什么呢？这说明矩阵不是零矩阵。
再分析后半句话，2阶子式为零意味着什么？大家可以自己举个例子，是不是说明二阶行列式的元素按行按列成比例(这里的成比例是广义的，比如二阶行列式有一行元素为零，那0除0理解成可以等于任何数)。进一步所有二阶子式全为零说明什么，是不是说明整个矩阵是按行按列成比例的分析至此，秩为1的矩阵长什么样子大家应该有个印象了：存在非零元素，且按行按列成比例。
n阶方阵的秩为n等价于其自身取行列式后不为零。这个大家自己分析，应该不困难。这种情况矩阵的秩达到了最大值，秩是满的，我们称该矩阵满秩。
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