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2010年心理学复习：教育心理学与高等...2010-09-08
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见问题有：
1.物调运问题
例如，已知
两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地， 两个车站的运输能力是有限的，且已知 两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小?
2.产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，能使每月获得的总利润最大?
3.下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小?
4.研究一个例子
下面的问题，能否用线性规划求解?如能，请同学们解出来。
某家具厂有方木料 ，五合板，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料、五合板 ，生产每个书橱需要方木料 、五合板 ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少?如何只安排生产书橱，可获利润多少?怎样安排生产时可使所得利润最大?
A.教师指导同学们逐步解答：
(1)先将已知数据列成下表
(2)设生产书桌x张，生产书橱y张，获利润为z元。
分析：显然这是一个二元线性问题，可归结于线性规划问题，并可用图解法求解。
(3)目标函数
①在第一个问题中，即只生产书桌，则 ，约束条件
∴ 最多生产300张书桌，获利润 元
这样安排生产，五合板先用光，方木料只用了 ，还没派上用场。
②在第二个问题中，即只生产书橱，则，约束条件是∴ 最多生产600张书橱，获利润元这样安排生产，五合板也全用光，方木料用去了，仍
没派上用场，获利润比只生产书桌多了48000元。
③在第三个问题中，即怎样安排生产，可获利润最大?，约束条件为
对此，我们用图解法求解，
先作出可行域，如图阴影部分。 时得直线
与 平行的直线 过可行域内的点M(0，600)。因为与 平等的过可行域内的点的所有直线中，
距原点最远，所以最优解为 ，即此时 因此，只生产书橱600张可获得最大利润，最大利润是72000元。
B.讨论
为什么会出现只生产书橱，可获最大利润的情形呢?第一，书橱比书桌价格高，因此应该尽可能多生产书橱;第二，生产一张书橱只需要五合板 ，生产一张书桌却需要五合板 ，按家具厂五合板的存有量
这是一个特殊的线性规划问题，再来研究它的解法。
C.改变这个例子的个别条件，再来研究它的解法。
将这个例子中方木料存有量改为 ，其他条件不变，则 作出可行域，如图阴影部分，且过可行域内点M(100，400)而平行于的直线 离原点的距离最大，所以最优解为(100，400)，这 (元)。
故生产书桌100、书橱400张，可获最大利润56000元。
总结、扩展
1.线性规划问题的数字模型。
2.线性规划在两类问题中的应用
布置作业
到附近的工厂、乡镇企业、商店、学校等作调查研究，了解线性规划在实际中的应用，或提出能用线性规划的知识提高生产效率的实际问题，并作出解答。把实习和研究活动的成果写成实习报告、研究报告或小论文，并互相交流。
