第十讲 参数估计 区间估计
一、考试要求
熟悉区间估计 (包括置信水平、且信区间)的概念2.熟悉正态总体均值、方差和标准差的置信区间的求法
3.了解比率p的置信区间 (大样本场合)的求法
二、 内容讲解
第四节 参数估计(续)
二、区间估计
(一) 区间估计的概念
点估计仅仅给出参数一个具体的估计值，但是没有给出估计的精度，而区间估计是用一个区间来对未知参数进行估计，区间估计体现了估计的精度。
设 是总体的一个待估参数，其一切可能取值组成的参数空间为 ，记从总体中获得样本量为n的样本为 ，对给定的 ，确定两个统计量：与若对任意 ∈ 有P( ≤ ≤ )≥l- ，则称随机区间[ ， ]是 的置信水平为l- 的置信区间，简称[ ， ]是 的l- 的置信区间， 与 分别称为的l- 的置信下限与置信上限。
置信区间的含义是：所构造的随机区间 覆盖(盖住)未知参数 的概率为 。由于这个随机区间随样本观测值的不同而不同，它有时覆盖了参数 ，有时没有覆盖 ，但是用这种方法做区间估计时，100次中大约有100( )个区间能覆盖未知参数 。图1.4-1中每一条竖线表示由一个样本量为4的样本按给定的 与 求得的一个区间。重复抽取100个样本，就得到100个这样的区间，在( )中，100个区间有51个包含(覆盖了)参数真值=50000，这对50%的置信区间来说是一个合理的偏离;在( )中，100个区间有90个包含参数真值=50000，这与90%的置信区间一致。
如果P()=P()= /2，则称这种置信区间为等尾置信区间。
下面着重讨论正态总体参数的置信区间及比例p的置信区间，它们都是等尾置信区间。
(二)正态总体参数的置信区间
设总体分布为 ，从中抽取的样本记为 ，样本均值为 ，样本方差为 ,样本标准差为s。
(1)总体均值 的置信区间的求法： 的估计一般用样本均值 ，从 的分布来构造置信区间。
当总体标准差 已知时，利用正态分布可得 的l- 置信区间为：
今后也记为 ，其中 是标准正态分布的 分位数。
当总体标准差 未知时， 用其估计s代替，利用t分布可以得到 的l- 置信区间为：
其中 表示自由度是n-l的t分布的 分位数。
(2)总体方差 与标准差 的置信区间的求法： 的估计常用样本方差 ，因此从 的分布来构造置信区间。
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