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第一章 函数、极限、连续
§1.1 函数
(甲) 内容要点
一、函数的概念
1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数
二、基本初等函数的概念、性质和图象
三、复合函数与初等函数
四、考研数学中常出现的非初等函数
1．用极限表示的函数
(1)
(2)
2．用变上、下限积分表示的函数
(1) 其中 连续，则
(2) 其中 可导， 连续，
则
五、函数的几种性质
1． 有界性：设函数 在x内有定义，若存在正数m，使 都有 ，则称 在x上是有界的。
2． 奇偶性：设区间x关于原点对称，若对 ，都有 ，则称 在x上是奇函数。
若对 ，都有 ，则称 在x上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于 轴对称。
3． 单调性：设 在x上有定义，若对任意 ， 都有 则称 在x上是单调增加的[单调减少的]；若对任意 ， 都有 ，则称 在x上是单调不减[单调不增]
（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）
4． 周期性：设 在x上有定义，如果存在常数 ，使得任意 ， ，都有 ，则称 是周期函数，称t为 的周期。
由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。
(乙) 典型例题
一、定义域与值域
例1 设 的定义域为 （ ）求 的定义域
解：要求 ，则 ，
当 时， ， ，则
当 时， ，
也即 或
例2 求 并求它的反函数。
解： ， ， ，
， ， ，
， ， ，
所以 的值域为
反函数
二、求复合函数有关表达式
例1 设 ，求
解： ，
若 ，则
根据数学归纳法可知，对正整数 ，
例2 已知 ，且 ，求
解：令 ， ，因此 ，
，∴
三、有关四种性质
例1 设 ，则下列结论正确的是 [ ]
（a）若 为奇函数，则 为偶函数
（b）若 为偶函数，则 为奇函数
（c）若 为周期函数，则 为周期函数
（d）若 为单调函数，则 为单调函数
例2 求
解 是奇函数，
是奇函数，
因此 是奇函数
于是
例3 设 是恒大于零的可导函数，且 ，则当 时，下列结论成立的是 [ ]
（a） （b）
（c） （d）
思考题：两个周期函数之和是否为周期函数
四、函数方程
例1．设 在 上可导， ，反函数为 ，且 ，求 。
解：两边对 求导得 ，于是 ，故 ， ，由 ，得 ，则 。
例2 设 满足 ，求
解：令 ，则
，
，
，
……
，
各式相加，得
，∴
因此 ，于是
或 （k为整数）
思考题
设 均为常数，求方程
的一个解。
§1.2 极限
