数学分析中的典型问题与方法(第2版)(裴礼文著)

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		数学分析中的典型问题与方法(第2版)(裴礼文著)
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《数学分析中的典型问题与方法(第2版)》是由高等教育出版社出版的。

目录

代序
笔者的话
再版前言
符号
第一章 一元函数极限
1.1 函数
一、关于反函数
二、奇函数、偶函数
三、周期函数
四、几个常用的不等式
五、求递推数列的通项
1.2 用定义证明极限的存在性
一、用定义证明极限
二、用Cauchy准则证明极限
三、否定形式
四、利用单调有界原理证明极限存在
五、数列与子列，函数与数列的极限关系
六、极限的运算性质
1.3 求极限值的若干方法
一、利用等价代换和初等变形求极限
a.等价代换
b.利用初等变形求极限
二、利用已知极限
三、利用变量替换求极限
四、两边夹法则
五、两边夹法则的推广形式
六、求极限其他常用方法
a.L’Hospital(常被译为洛必达)法则
b.利用Taylor公式求极限
c.利用积分定义求极限
d.利用级数求解极限问题
e.利用连续性求极限
f.综合性例题
1.4 O.Stolz公式
一、数列的情况
二、函数极限的情况
1.5 递推形式的极限
一、利用存在性求极限
二、写出通项求极限
三、替换与变形
四、图解法
五、不动点方法的推广
六、Stolz公式的应用
1.6 序列的上、下极限
一、利用e-N语言描述上、下极限
二、利用子序列的极限描述上、下极限
三、利用确界的极限描述上、下极’限
四、利用上、下极限研究序列的极限
五、上、下极限的运算性质
1.7 函数的上、下极限
一、函数上、下极限的定义及等价描述
二、单侧上、下极限
三、函数上、下极限的不等式
1.8 实数及其基本定理
一、实数的引入
二、实数基本定理

第二章 一元函数的连续性
2.1 连续性的证明与应用
一、连续性的证明
二、连续性的应用
2.2 一致连续性
一、利用一致连续的定义及其否定形式证题
二、一致连续与连续的关系
三、用连续模数描述一致连续性
四、集上的连续函数及一致连续函数的延拓问题
2.3 上、下半连续
一、上、下半连续的定义与等价描述
二、上(下)半连续的性质
a.运算性质
b.保号性
c.无介值性
d.关于f(z)的界
2.4 函数方程
一、问题的提出
二、求解函数方程
a.推归法
b.转化法
c.利用微分方程

第三章 一元微分学
3.1 导数
一、关于导数的定义与可微性
二、高阶导数与Leibniz公式
a.先拆项再求导
b.直接使用Leibniz公式
c.用数学归纳法求高阶导数
d.用递推公式求导
e.用Taylor展式求导数
3.2 微分中值定理
一、Rolle定理
a.函数零(值)点问题
b.证明中值公式
二、Lagrange!定理
a.利用几何意义(弦线法)
b.利用有限增量公式导出新的中值公式
c.作为函数的变形
d.用导数法证明恒等式
三、导数的两大特性
a.导数无第一类间断
b.导数的介值性
四、cauchy中值定理
a.推导中值公式
b.作为函数与导数的关系
3.3 Taylor公式
一、证明中值公式
二、用Taylor公式证明不等式
三、用Taylor公式作导数的中值估计
四、关于界的估计
五、求无穷远处的极限
六、中值点的极限
七、函数方程中的应用
八、Taybr展开的唯一性问题
3.4 不等式与凸函数
一、不等式
a.利用单调性证明不等式
b.利用微分中值定理证明不等式
c.利用Taylor公式证明不等式
d.用求极值的方法证明不等式
e.利用单调极限证明不等式
二、凸函数
a.凸函数的几种定义以及它们的关系
b.凸函数的等价描述
c.凸函数的性质及应用
3.5 导数的综合应用
一、极值问题
二、导数在几何中的应用
三、导数的实际应用
四、导数在求极限中的应用

第四章 一元函数积分学
4.1 积分与极限
一、利用积分求极限
二、积分的极限
4.2 定积分的可积性
一、直接用定义证明可积性
……
第五章 级数
第六章 多元函数微分学
第七章 多元积分学

序言

作为一名长期从事数学分析教学工作的教师，能为广大读者做点事，得到读者关爱，是本人的极大欣慰。应当特别感谢高等教育出版社，十二年来为本书连续印刷出版了十一次，还推荐到台湾凡异出版社出版了中文繁体版（上、下册）。
此次修订，除对文字进行了部分修改之外，主要增加了大量新近考研试题。对部分热点内容的练习，进行了重新编排和改写，大幅度地增加了提示、再提示，部分还给了解答，以适应不同读者的需要。根据考研情况适当增加了基础性、中档次的题目和内容，更好跟当前的考情接轨。同原版比较，内容更完整、更充实、更便于阅读，也更贴近于考研的实际。
此次修订还对内容作了标示，以便选用：
“无标记”为基础性内容，适合各类读者。
“*”在例题习题之前加“*”号，表示该题难度较大或理论性较强。在章节段落标题前加“*”号，表示该部分内容主要适合于数学院系的学生，非数学院系学生可从略。“**”号表示难度更大或理论性更强。
“☆”表示“重点推荐”。在带*的章节中出现的“☆”号，表示主要针对数学院系学生的重点推荐。标“☆”号的题目控制在总数的1／3左右，供读者选读。
“※”为扩展性内容，供有兴趣的读者选阅。
应该说，本书的最大特点是全面、系统地总结“方法”，不是单纯追逐考题。事实证明，该书不少不是考题的题目，陆续成了部分院校的考题。

文摘

插图：



导读极限是考研热点问题，适合多类读者。
内容提要极限论是数学分析的基础。极限问题是数学分析中困难问题之一。中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值。两问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限的存在性也被证明。反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路。
讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限。两类极限，有平行的理论，类似的方法，彼此有着深刻的内在联系。这些读者已很熟悉。这里，我们希望在技巧和难度上，以较高的水准来综合讨论极限的两大问题。

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